Separabel differentialekvation dx/dt=exp(x+t)

Följande differentialekvation försöker jag lösa, och både wolfram och symbolab ger samma svar som jag räknade mig fram till, men facit stämmer inte överens, hur har jag räknat fel?

$$\begin{gathered} \frac{dx}{dt}=e^{x+t} =e^x·e^t \Rightarrow \frac{1}{e^x}dx=e^{t}dt \Rightarrow \int \frac{1}{e^x}dx=\int e^{t}dt \Rightarrow -e^{-x}=e^t+C \\ \Rightarrow e^{-x}=-e^t-C \Rightarrow \ln e^{-x}=-\ln (-e^t-C) \Rightarrow x=\ln (-e^t-C) \end{gathered}$$

Misstänker att det går att trixa med ln i sista leder men vet ej hur...