Separabel differentialekvation

Hej! Håller på med separabla differentialekvationer och finner det extremt luddigt. Får fel på följande uppgift, förstår ej varför.

"Lös differentialekvationen och bestäm den partikulärlösing som uppfyller det givna begynnelsevillkoret.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=e^{x-y} \\ y\left(0\right)=5 \end{gathered}$$"

Min lösning:

$\frac{dy}{dx}=e^{x-y} \iff y\text{'}=\frac{e^x }{e^y}\iff y\text{'}{e}^y=e^x$

Jag ser e^y som g(y) och e^x som f(x) enligt g(y)y'=f(x). Då gäller

${\int }_{}^{}g\left(y\right)dy=\int f\left(x\right)dx\iff \int e^{y}dy=\int e^{x}dx$

varpå man enkelt ser att y=x+C. Men facit anger (med C:s värde uträknat med villkoret) att y=ln(e^x+e⁵-1) så jag måste tänka helt fel. Vad är felet?