Separabel diffekvation

Hej har lite problem med en uppgift.

Följande modell för tillväxt av tex en växt eller djurpopulation används ofta, låt antalet individer vid tiden t vara y(t). Tillväxten styrs av differentianekvationen.

dy/dt=ry(K-y) där r och K är positiva konstanter.
y(0) = 10^4
y(1) = 2 * 10^4
och 10^5 efter mycket lång tid.

Vilka värden på r och K ges av försöket?

Har gjort såhär

$\frac{1}{y (K - y)} d y = r d t \int_{}^{} \frac{1}{y (K - y)} d y = \int_{}^{} r d t$

Med partialbråksuppdelning får jag

$\frac{1}{K} \int_{}^{} \frac{1}{y} - \frac{1}{y - K} d y = t r + C \frac{1}{K} \ln (\frac{y}{y - K}) = t r + C$

$\frac{y}{y - K} = e^{K t r} + C$

Sen när jag ska bestämma K och r så blir det fel, vet inte hur man ska göra?

Du har att

$\frac{1}{K}$ ln $|\frac{y}{y - K}|$ = tr + C, som ger att

ln $|\frac{y}{y - K}|$ = Ktr + C’ (C’ = KC), som ger

$|\frac{y}{y - K}|$ = e^C’e^Ktr, som ger

$\frac{y}{y - K}$ = $\pm$ e^C’e^Ktr = De^Ktr.

Sedan får du lösa ut y ur detta samband. Kalla HL A.

$\frac{y}{y - K}$ = A

$y = (y - K) A$

y(1-A) = -KA

y = $\frac{K A}{A - 1}$ = sätt in uttrycket för A (De^Krt) och bestäm konstanterna med utnyttjande av informationen i uppgiften.

Hej,

Efter mycket lång till har populationen stabiliserats kring antalet $10^{5}$ enligt texten, vilket betyder att det inte längre sker någon förändring. Derivatan är i detta läge väsentligen noll vilket motsvaras av att $y \approx K$ ; konstanten $K$ är alltså $10^{5}$ .

Uppgiftstexten ger $y^\prime(0) = r \cdot 10^{4}\cdot(10^5-10^4) = 9r\cdot 10^{8}$ och $y^\prime(1)=16r\cdot 10^8$ .

Om man approximerar derivatorna med sekantens lutning så får man att $r$ ligger någonstans mellan två värden.

$y^\prime(0) \approx \frac{y(1)-y(0)}{1-0}=10^4 \implies r\approx \frac{10^4}{9\cdot 10^8} \approx 11.1\cdot 10^{-6}.$
$y^\prime(1) \approx \frac{y(1)-y(0)}{1-0} = 10^4 \implies r \approx \frac{10^4}{16\cdot 10^8}=6.25\cdot 10^{-6}$

Svara