Separabel diffekavtion

Så du har lyckats att separera alla y, dy samt alla x, dx? Då kan du bara integrera båda sidorna och sedan lösa för y, när du gör det så kommer du ju att få en godtycklig konstant C, den bestämmer du med hjälp av begynnelsevärdet y(3)=7. Dvs när x=3 så är y=7.

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} \Rightarrow x dy=y dx \Rightarrow \frac{x}{y} dy=dx \Rightarrow \frac{1}{y} dy=\frac{1}{x} dx.$ Integrerar vi båda sidorna så får vi:

$\int \frac{1}{y} dy=\int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|x\right|+C$, Vi kan lösa för y genom att ha båda ledena upphöjt till e, då $e^{\ln \left(x\right)}=x$.

$y=e^{\ln \left(x\right)+C} = e^{\ln \left(x\right)}*e^C$, $e^C$är en konstant, så vi kan kalla det för C, märk också att $e^{\ln \left(x\right)}=x$så vi får:

$y=Cx$, vilket är vår lösning, nu vill vi bestämma C med hjälp av begynnelsevärdet y(3)=7:

$7=C\left(3\right) \Rightarrow C=\frac{7}{3}$, så svaret är $y=\frac{7}{3}x.$ Man kan kolla om detta stämmer genom att derivera det och se om det är samma sak som att ta $\frac{y}{x}.$

MathematicsDEF skrev:

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} \Rightarrow x dy=y dx \Rightarrow \frac{x}{y} dy=dx \Rightarrow \frac{1}{y} dy=\frac{1}{x} dx.$ Integrerar vi båda sidorna så får vi:

$\int \frac{1}{y} dy=\int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|x\right|+C$, Vi kan lösa för y genom att ha båda ledena upphöjt till e, då $e^{\ln \left(x\right)}=x$.

$y=e^{\ln \left(x\right)+C} = e^{\ln \left(x\right)}*e^C$, $e^C$är en konstant, så vi kan kalla det för C, märk också att $e^{\ln \left(x\right)}=x$så vi får:

$y=Cx$, vilket är vår lösning, nu vill vi bestämma C med hjälp av begynnelsevärdet y(3)=7:

$7=C\left(3\right) \Rightarrow C=\frac{7}{3}$, så svaret är $y=\frac{7}{3}x.$ Man kan kolla om detta stämmer genom att derivera det och se om det är samma sak som att ta $\frac{y}{x}.$

Vad hände med absolutbeloppen?

henrikus skrev:

MathematicsDEF skrev:

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} \Rightarrow x dy=y dx \Rightarrow \frac{x}{y} dy=dx \Rightarrow \frac{1}{y} dy=\frac{1}{x} dx.$ Integrerar vi båda sidorna så får vi:

$\int \frac{1}{y} dy=\int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|x\right|+C$, Vi kan lösa för y genom att ha båda ledena upphöjt till e, då $e^{\ln \left(x\right)}=x$.

$y=e^{\ln \left(x\right)+C} = e^{\ln \left(x\right)}*e^C$, $e^C$är en konstant, så vi kan kalla det för C, märk också att $e^{\ln \left(x\right)}=x$så vi får:

$y=Cx$, vilket är vår lösning, nu vill vi bestämma C med hjälp av begynnelsevärdet y(3)=7:

$7=C\left(3\right) \Rightarrow C=\frac{7}{3}$, så svaret är $y=\frac{7}{3}x.$ Man kan kolla om detta stämmer genom att derivera det och se om det är samma sak som att ta $\frac{y}{x}.$

Vad hände med absolutbeloppen?

I frågan står det att $x>0$ och $y>0$, så absolutbeloppen bör inte påverka lösningen.

henrikus skrev:

MathematicsDEF skrev:

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} \Rightarrow x dy=y dx \Rightarrow \frac{x}{y} dy=dx \Rightarrow \frac{1}{y} dy=\frac{1}{x} dx.$ Integrerar vi båda sidorna så får vi:

$\int \frac{1}{y} dy=\int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|x\right|+C$, Vi kan lösa för y genom att ha båda ledena upphöjt till e, då $e^{\ln \left(x\right)}=x$.

$y=e^{\ln \left(x\right)+C} = e^{\ln \left(x\right)}*e^C$, $e^C$är en konstant, så vi kan kalla det för C, märk också att $e^{\ln \left(x\right)}=x$så vi får:

$y=Cx$, vilket är vår lösning, nu vill vi bestämma C med hjälp av begynnelsevärdet y(3)=7:

$7=C\left(3\right) \Rightarrow C=\frac{7}{3}$, så svaret är $y=\frac{7}{3}x.$ Man kan kolla om detta stämmer genom att derivera det och se om det är samma sak som att ta $\frac{y}{x}.$

Vad hände med absolutbeloppen?

Det har egentligen och göra med att ln(x) inte är definerat för x<0, dvs negativa värden för x, så man brukar inkludera absolutbelopp just för att vara säker på att allt inuti logaritmen är positivt. Nu så var det givet att x måste vara större än 0 så det hade egentligen inte behövts i det här fallet.

Nja, jag tror beloppen där har mer att göra med att 1/x är derivata till både ln x och ln -x, på olika intervall. Det är ingen bra taktik att ändra på något som är odefinerat och hoppas att det ändå blir samma svar.