Sekvens

Jag förstår inte riktigt hur jag ska börja här... $a_{n+1}=\sqrt{10+3a_n}$ , för att hitta $a_n$ använder jag limits:

$\lim_{n\to\infty} \ a_{n+1} = a_n=\sqrt{10+3a_n}$ , eller?

Jag har redan postat denna fråga för någon månad sen, men valde att posta på nytt än att bumpa den :)

Om a_n+1=a_n som du skriver så borde man kunna lösa ut vad som a_n är i ekvationen.

$a_{n} = \sqrt{10 + 3 * a_{n}} {(a_{n})}^{2} = 10 + 3 * a_{n}$

vilket är en vanlig andragradsfunktion. Löser man vidare på denna får man att a_n är -2 eller 5, men -2 visar sig vara en falsk rot så a_n=5.

Vad innebär detta nu? Det innebär att om sekvensen någonsin når värdet 5 så blir den kvar på det värdet, eftersom a_n=5 gör så att a_n+1 också är 5.

Hur man sen går vidare vet jag inte riktigt. Ett lämpligt nästasteg är väl att applicera funktionen många gånger i maskin för att se vad som egentligen händer då man tagit många steg i funktionen. Eftersom att den skulle konvergera och ha en övre begränsning så borde man få reda på vad den konvergerar mot om man gör på detta viset. Jag gissar att 5 är den övre begränsningen.

Om $x > \sqrt{10 + 3 x}$ när x<5 så kan gränsvärdet inte vara mindre än 5 ...

Bedinsis skrev:

vilket är en vanlig andragradsfunktion. Löser man vidare på denna får man att a_n är -2 eller 5, men -2 visar sig vara en falsk rot så a_n=5.

$a_n=-2$ är falsk rot bara för att det står att sekvensen ökar, eller?

Vad innebär detta nu? Det innebär att om sekvensen någonsin når värdet 5 så blir den kvar på det värdet, eftersom a_n=5 gör så att a_n+1 också är 5.

Så alltså, sekvens når som max ett värde på $5$ , det innebär att $\lim_{n\to\infty} a_{n+1}=5$ , vilket i sin tur innebär att sekvensen convergerar och gränsvärdet blir $5$ . Är det rätt svar då (och argument)?

Soderstrom skrev:

Bedinsis skrev:

vilket är en vanlig andragradsfunktion. Löser man vidare på denna får man att a_n är -2 eller 5, men -2 visar sig vara en falsk rot så a_n=5.

$a_n=-2$ är falsk rot bara för att det står att sekvensen ökar, eller?

Nej, för att om man stoppar in att a_n=a_n+1=-2 kommer det visa sig att man har skrivit att -2= 2.

Vad innebär detta nu? Det innebär att om sekvensen någonsin når värdet 5 så blir den kvar på det värdet, eftersom a_n=5 gör så att a_n+1 också är 5.

Så alltså, sekvens når som max ett värde på $5$ , det innebär att $\lim_{n\to\infty} a_{n+1}=5$ , vilket i sin tur innebär att sekvensen convergerar och gränsvärdet blir $5$ . Är det rätt svar då (och argument)?

Jag vet inte. Jag bara försökte hjälpa till med att lösa så långt jag kunde, innan samvetet för att jag slösurfar på arbetstid fick mig att avbryta.

Du bör antagligen bevisa/motivera varför sekvensen når ett maxvärde på 5. Om den nu gör det. Steget om att köra i maskin och se vad som händer var bara för att hjälpa dig förstå vad som händer.

Vi har ännu inte visat att följden är stigande, bara att den ökar om den håller sig under 5 och vi kan på samma sätt visa att den är faller om den kommer över 5 men det räcker inte den skulle kunna oscillera kring 5

Kanske går det med induktion...

Svara

Visa senaste svar