SDE - Stokastisk integral

Huruvida du får flytta ut funktionen eller ej beror på hur du definierar differentialen av Wienerprocessen. Är det en finit differens enligt nedan?

$dW\left(t\right) = \dfrac{1}{h}\left[W\left(t+h\right)-W\left(t\right)\right]dt$

Ebola skrev:

Huruvida du får flytta ut funktionen eller ej beror på hur du definierar differentialen av Wienerprocessen. Är det en finit differens enligt nedan?

$dW\left(t\right) = \dfrac{1}{h}\left[W\left(t+h\right)-W\left(t\right)\right]dt$

Nja? Vi har bara satt $dW(t)=W(t_{k+1})-W(t_{k})$ typ, tror jag, där vi delar upp tidsintervallet i säg $n$ lika stora intervaller av längd säg $h=t_{k+1}-t_{k}$. Men vi använder "forward increments" i alla fall.

EDIT: Jag vet inte om vi riktigt har definierat $dW(t)$ närmare än "$dW(t)$". Men vi använder $\left(dW(t)\right)^2=dt$.

Hej,

Så som du har skrivit integralerna får du flytta ut allt, inklusive Wienerprocessen eftersom du inte integrerar med avseende på dessa överhuvudtaget; du skriver $t$ både inom integralen som för övre integrationsgräns. Spelar roll? Det är ju bara beteckningar? 

Albiki skrev:

Hej,

Så som du har skrivit integralerna får du flytta ut allt, inklusive Wienerprocessen eftersom du inte integrerar med avseende på dessa överhuvudtaget; du skriver $t$ både inom integralen som för övre integrationsgräns. Spelar roll? Det är ju bara beteckningar? 

Tack. 

Ska $t$ i $e^{bt}$ bytas till $s$ (så det blir $e^{bs}$ istället) om jag skriver det (som det kanske borde skrivas?) som $Y(t)=\displaystyle x_{0} + \int_{0}^{t}e^{bt}\sigma dW(s)$?

Jag vet inte riktigt hur jag ska förklara det eller ställa frågan, men på nåt sätt är väl $e^{bt}$ inte beroende av $dW(s)$?

Eller är jag helt ute och cyklar nu?

EDIT: Varför blir det dessa otroligt stora parenteserna runt vissa av argumenten?

Det ska stå 

    $\displaystyle Y_t=Y_0+\sigma\cdot\int_0^t e^{bs}\,dW_s.$

Motsvarande för O-U processen X.

Albiki skrev:

Det ska stå 

    $\displaystyle Y_t=Y_0+\sigma\cdot\int_0^t e^{bs}\,dW_s.$

Motsvarande för O-U processen X.

Just det, tack.

Vi kan skriva $Y_{0}=Y(0)=x_{0}-\frac{a}{b}$, eller misstar jag mig?

Då är $X(t)=\displaystyle e^{-bt}\left(x_{0}-\frac{a}{b}+\sigma \int_{0}^{t}e^{bs}dW(s)\right)+\frac{a}{b}$.

Moffen skrev:

EDIT: Varför blir det dessa otroligt stora parenteserna runt vissa av argumenten?

I implementeringen av LaTeX på PA måste du använda \left( ... \right) när du skriver parenteser, hak-klammrar etc. 

$\displaystyle F(x) = \int f(x) dx$

Mot:

$\displaystyle F\left(x\right) = \int f\left(x\right) dx$

Skriv istället

    $\displaystyle X_t=\frac{a}{b}\left(1-e^{-bt}\right)+x_0e^{-bt}+\sigma\cdot\int_0^te^{-b\left(t-s\right)}\,dW_s$

Tack så mycket för hjälpen! Det uppskattas verkligen :)

Hej,

Det är sällan man ser frågor om stokastiska differentialekvationer här på Pluggakuten, så det är trevligt med litet omväxling.