3 svar
108 visningar
naytte behöver inte mer hjälp
naytte 4852 – Moderator
Postad: 27 sep 19:58 Redigerad: 27 sep 20:00

Schrödingers ekvation och "infinte well"

Halloj!

Jag håller på att läsa om grundläggande kvantfysik i min kemibok och har några frågor om "particle in a box"-modellen. Jag är med på att man ur Schrödingers ekvation och våra boundry conditions kan lösa ut en vågfunktion som på något sätt beskriver partikeln i lådan enligt:

ψx=2Lsin(nπxL)\displaystyle\psi\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L})

Där faktorn framför sinusfunktionen kommer ifrån att man har normerat vågfunktionen.

Min första fråga är varför man måste normera sin vågfunktion. Är det för att man vill att arean under kvadraten av kurvan alltid ska vara lika med 1, alltså att sannolikheten att partikeln existerar någonstans är 1 eller 100 %? 

Min andra fråga är exakt vad termen nn innebär. Är detta samma sak som "huvudkvanttal", alltså på något sätt relaterat till hur stor energi partikeln har? Jag vet att detta nn är relaterat till någon typ av energi enligt:

En=2π2n22mL\displaystyle E_n = \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2mL}

Är detta då så att säga de (rörelse)energier som partikeln kan ha? Betyder det att man behöver olika vågfunktioner för att beskriva sannolikheten att partikeln befinner sig på en särskild plats beroende på vilken energi den har?

Varför behöver vi inte bry oss om tid här? Det känns som tid är en ganska viktig variabel. Om vi "stoppar in" vår partikel i någon ände och vi tittar in efter en viss tid kommer dess position väl vara tidsberoende på något sätt? 

Pieter Kuiper 8033 – Avstängd
Postad: 27 sep 23:52 Redigerad: 28 sep 01:15

När man tänker klassiskt, studsar partikeln mellan väggarna:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Particle_in_a_box.svg 

Partikeln kan ha vilket värde som helst av kinetisk energi.

Kvantmekaniskt blir det en våg. Det finns lösningar som är stående vågor. Dessa har en stationär sannolikhetsfördelning. Randvillkoren ger kvantiserade lösningar.

Sedan finns superpositioner, där sannolikhetsfördelningen inte är stationär:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Particle_in_a_box_(time_evolution).gif 

naytte 4852 – Moderator
Postad: 28 sep 00:50 Redigerad: 28 sep 00:51

Tack för ditt svar!

Jag har tyvärr lite svårt att förstå vad det betyder att det är "en våg". Jag förstår att vågor är en typ av objekt som har vissa egenskaper, t.ex. att de följer superpositionsprincipen och att de har egenskaper vi kallar "våglängd" och "frekvens". Men jag har svårt att koppla detta till elektronsystem eller exemplet här med particle in a box-modellen.

Jag tror det hade blivit lite enklare om du skulle kunna svara på de enskilda frågorna (om du har lust och tid då).

Pieter Kuiper 8033 – Avstängd
Postad: 28 sep 20:10 Redigerad: 28 sep 20:12
naytte skrev:

Jag har tyvärr lite svårt att förstå vad det betyder att det är "en våg". Jag förstår att vågor är en typ av objekt som har vissa egenskaper, t.ex. att de följer superpositionsprincipen och att de har egenskaper vi kallar "våglängd" och "frekvens". Men jag har svårt att koppla detta till elektronsystem eller exemplet här med particle in a box-modellen.

Partikeln har en de-Broglie våglängd, λdB=h/p\lambda_{dB} = h/p. Villkoren för stående vågor och Ekin=p2/2mE_{\rm kin} =p^2/2m ger då energiespektrum.

Svara
Close