Schrödingers ekvation och "infinte well"

Halloj!

Jag håller på att läsa om grundläggande kvantfysik i min kemibok och har några frågor om "particle in a box"-modellen. Jag är med på att man ur Schrödingers ekvation och våra boundry conditions kan lösa ut en vågfunktion som på något sätt beskriver partikeln i lådan enligt:

$\displaystyle\psi\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L})$

Där faktorn framför sinusfunktionen kommer ifrån att man har normerat vågfunktionen.

Min första fråga är varför man måste normera sin vågfunktion. Är det för att man vill att arean under kvadraten av kurvan alltid ska vara lika med 1, alltså att sannolikheten att partikeln existerar någonstans är 1 eller 100 %? 

Min andra fråga är exakt vad termen $n$ innebär. Är detta samma sak som "huvudkvanttal", alltså på något sätt relaterat till hur stor energi partikeln har? Jag vet att detta $n$ är relaterat till någon typ av energi enligt:

$\displaystyle E_n = \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2mL}$

Är detta då så att säga de (rörelse)energier som partikeln kan ha? Betyder det att man behöver olika vågfunktioner för att beskriva sannolikheten att partikeln befinner sig på en särskild plats beroende på vilken energi den har?

Varför behöver vi inte bry oss om tid här? Det känns som tid är en ganska viktig variabel. Om vi "stoppar in" vår partikel i någon ände och vi tittar in efter en viss tid kommer dess position väl vara tidsberoende på något sätt?