sätt ut max punkten på en graf (envariabelanalys)

Varför vill du approximera det? Kan du inte bara skriva det som punkten $\left(1,\frac{\pi}{4}-\ln{\sqrt{2}}\right)$?

Alltså med hur stor precision behöver du approximera det? Om det ska sättas ut på en graf bör det kanske räcka med en decimal max 2 decimaler? Och det är ju inte särskilt svårt.

Du har

 $$\begin{gathered} \mathrm{\pi }\approx 3,14 \\ \ln \sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2 \end{gathered}$$

Så återstår att approximera ln 2.

Där kan du använda Taylorutvecklingen 

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}...$

Den approximationen konvergerar snabbt för små x, nära 0, men ganska långsamt för x=1 som vi är intresserade av. Ett trick är då att använda:

$\ln x=-\ln \left(\frac{1}{x}\right).$

Så vi approximerar först ln(1/2) dvs vi kollar på Taylorutvecklingen ln(1+x) för x=-1/2.

Fyra första termerna av den utvecklingen ger ln 2 cirka 0,68. Pi/4 å andra sidan cirka 0.785. Så differensen cirkar 0,1.

Mer precision än så behövs väl knappast för kurvritning?

sorry jag var nog otydlig i min frågeställning och problembeskrivning.

jag ska alltså skissa grafen $f\left(x\right) = arc\tan x - \ln \sqrt{1+x^2}$

och jag har hittat en global maxpunkt som är den jag angivit och det jag undrar är hur jag ska rita ut den punkten för jag et ej hur högt eller lågt den är ifrån x-axeln

Maremare skrev:

sorry jag var nog otydlig i min frågeställning och problembeskrivning.

jag ska alltså skissa grafen $f\left(x\right) = arc\tan x - \ln \sqrt{1+x^2}$

och jag har hittat en global maxpunkt som är den jag angivit och det jag undrar är hur jag ska rita ut den punkten för jag et ej hur högt eller lågt den är ifrån x-axeln

Jag är inte säker på att jag förstår: är det inte det jag visat dig hur man gör?

Maremare skrev:

jag fick tidigare hjälp med att avgöra om ett visst värde är större eller mindre än $\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\ln \sqrt{2}$

men om jag ska rita grafen till en funktion och har en maxpunkt (1, $\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\ln \sqrt{2}$)

hur ska jag skriva ut den punkten? jag vet att x är 1 men vad är y värdet för värde att sätta i koordinatsystemet?

hur kan jag approximera det på något effektivt sätt?

Ett effektivt sätt är att använda din räknare.

Om du inte får använda räknare så kan du använda tipset du fick av Smutsmunnen.

Enklast är nog att ha lite koll på vanliga konstanter. ln(2) återkommer rätt ofta, och är ungefär 0.693. Man kan notera att det ligger nära $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ som också återkommer en del. Att tänka på båda dessa som "ungefär 0.7" räcker ofta rätt bra.

Då har du:

$\dfrac{\pi}{4} - \ln(\sqrt{2}) = \dfrac{\pi}{4} - \ln(2^{1/2}) = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\ln(2)}{2} \\ \approx \dfrac{3.14}{4} - \dfrac{0.7}{2} \approx 0.78 - 0.35 = 0.43$

Smutsmunnen skrev:

Maremare skrev:

sorry jag var nog otydlig i min frågeställning och problembeskrivning.

jag ska alltså skissa grafen $f\left(x\right) = arc\tan x - \ln \sqrt{1+x^2}$

och jag har hittat en global maxpunkt som är den jag angivit och det jag undrar är hur jag ska rita ut den punkten för jag et ej hur högt eller lågt den är ifrån x-axeln

Jag är inte säker på att jag förstår: är det inte det jag visat dig hur man gör?

yes jag ville skriva inlägget för att klargöra allmänt bara om jag skulle läsa frågan igen så jag inte blir förvirrad av mitt egna inlägg

jag får väl taylorutveckla i värsta fall men ville helst bara sätta ut själva punkten och om jag ska taylorutveckla behöver jag bli bekväm med det också vilket jag inte är än tyvärr

tack för tipset!

Maremare skrev:

...

jag får väl taylorutveckla i värsta fall men ville helst bara sätta ut själva punkten och om jag ska taylorutveckla behöver jag bli bekväm med det också vilket jag inte är än tyvärr

...

Varför inte bara använda räknaren?

Yngve skrev:

Maremare skrev:

...

jag får väl taylorutveckla i värsta fall men ville helst bara sätta ut själva punkten och om jag ska taylorutveckla behöver jag bli bekväm med det också vilket jag inte är än tyvärr

...

Varför inte bara använda räknaren?

vi får ej använda räknare i de matematikkurser jag går tyvärr

Maremare skrev:

vi får ej använda räknare i de matematikkurser jag går tyvärr

OK