Sätt samman två parabler med mjuk övergång

Kollade facit och begriper ingenting, tror inte jag löser det här eftersom jag inte identifierar problemet riktigt

Låt vänstra grafen vara y1(x)=Ax^2+25, A<0

y1(10)=10 ger dig A

Låt högra grafen vara y2(x)=B(x-c)^2, B>0, c>0

y2(10)=10 ger dig en ekvation i B och c.

y1'(10)=y2'(10) ger dig en ekvation i B och c.

Kombinera dessa två ekvationer och beräkna B och c och du har löst uppgiften.

Okej, tack. Försöker imorgon.

Men hur identifierar du att y2 ens ska se ut sådär, varför (x-c) exempelvis?

Den har ett (dubbelt) nollställe för x=c.

Fattar inte..  den tangerar x axeln en gång, är inte det 1 nollställe? Vad är c?

Har sökt runt och läst lite nu och den har en dubbelrot eftersom x^2 blir samma värde oavsett om exempelvis x = 15 eller = -15... Tror jag? 

Fast c vet jag inte. Är det för att den har samma amplitud eller vad man säger som första funktionen fast omvänt? Att c = 25..

En andragradsfunktion kan ha två, ett eller inget nollställe. Om den har två kan den skrivas a(x-b)(x-c) där b och c är nollställena. Om man lyfter upp kurvan lite så kommer nollställena närmare varandra och sedan sammanfaller de, dvs. b = c. Det kallas ett dubbelt nollställe. Lyfter man upp kurvan mer så har den inga nollställen alls. (Det här är om kurvan har formen av ett U. Om den är ledsen mun så blir allting tvärtom.)

Här ser man att den högra parabeln har ett nollställe och inte två, så den kan skrivas a(x-c)² (eller vilka bokstäver man nu väljer).

Allt du skrev i början för den första parabeln ser bra ut, tycker jag.

Sammanfattar lite vad jag gör.

Så f(x) = $-a{x}^2+bx + c$

$$\begin{gathered} a{0}^2 + b0 + c = 25 \\ 0+0+ c = 25 \\ C = 25 \end{gathered}$$

f'(x) = 2ax +b =0 när X =0

Så B = 0.

Då kan man kolla punkt P:

f(x) = -100a +25 =10

$a = \frac{-15}{-100}$

a = 0.15

b = 0 

c = 25

Vilket ger att f(x) = $25-0.15x^2$

f'(x) i punkt P är = -3

Andra funktionen..

g(x) = $a{(x-c)}^2$

g(x) = $a{x}^2 -2axc +a{c}^2$

Sedan g'(x) = $2ax -2ac$

$$\begin{gathered} \frac{100a - 20ac +a{c}^2 = 10}{a} \\ \frac{100-20c + c^2}{20} =\frac{10}{20a} \\ -c+c^2 = \frac{10}{20a}-5 \end{gathered}$$

Vet inte vad jag ska göra.

Sätta derivator lika:

20a = 20a - 2ac

2ac = 1

a = 1/2c

Placera in a i g(x) där x = 10:

$$\begin{gathered} \frac{100}{2c} -\frac{20}{2c} + \frac{c^2}{2c} =10 \\ 80 +c^2 = 20c \\ C = 10\pm \sqrt{20} \\ c1 = 14.47 \\ c2 = 5.53 \end{gathered}$$

a är då = 1/2(14.47) = 0.035

eller = 1/2(5.53) = 0.09

Plugga in dessa i g'(x) = 0.69 - 0.4341 =0.2559

Ehm, nej.

Testar andra c och a.

g'(x) = 0.90 - 0.497 = 0.403

..

Nej. Är helt borta.

Jaha, vad fattade man inte nudå.. läs om allt och försök förstå någonting..

Jo, jag klarade inte av att lösa ut c ifrån g(x). Kollar på det igen och kan inte komma med något annat. Kan jag lösa ut a istället.

100a - 20ac +c^2 = 10

100a -20ac = 10-c^2

dividera med c

100a/c-20a = 10/c -c

Kör fast här, kan inte lösa ut a heller. Vet inte om a skulle multipliceras in alls egentligen.

Om man gör om det men låter den stå utanför då.

a(100-20c +c^2) = 10

 100-20c+c^2 = 10/a

Kommer köra fast på -c +c^2 som tidigare..

Jag undrar lite varför funktion 2 till höger måste vara skriven på en annan form än den första? Varför ska första inte vara skriven i samma form?

Det måste den inte.

Det framgår inte av uppgiften hur de vill att uttrycken ska skrivas, så då är det fritt fram att skriva som man vill.

Men man brukar vilja skriva på så "enkel" form som möjligt.

Kan den här gamla tråden hjälpa dig framåt?

Du har kommit fram till (fast vi kanske borde använda andra beteckningar än a och c som användes för f(x)).

g(x) = a(x − c)²

g'(x) = 2ax − 2ac
g'(x) = 2a(x − c)  

Du verkar inte använda ditt resultat

f'(x) i punkt P är = -3

Alltså att även g'(10) = -3.

a(10-c)² = 10

2a(10-c) = -3

att a(10-c) förekommer i båda ekvationerna medger en genväg.

Blir inte g(x) = a(x-c)^2 = ax^2 -2xca + ca^2

Och sedan g'(x) = 2ax - 2ca + 2ca = 2ax

?

Eller ja tydligen inte men.

Den konstanta termen ca² i g(x) lämnar inga spår i derivatan g'(x).

Som du fick i #8:

Sedan g'(x) = 2ax -2ac 

Ok.. jo. Jag förstår.

Jag har snubblat mig fram till uttrycket:

-3 = 20a - c, ställt derivator lika från båda funktioner.

Och kommit fram till att c = -(3/2a)-10

Slänger man in det i funktionen a(x-c) =10 där x = 10 kommer jag fram till: a(-3/2a)^2.

Sedan kan jag inte riktigt lösa ut a.

Får 20a^2 +9a = 0? PQ formel?

a1 = -9 a2 = 0

Jag menar 9a/a^2 = 40

Har sett svaren i facit och andra trådar så jag vet att det borde vara lite åt rätt håll.

Får vila för idag jag blir helt slut av det här. Tror jag har löst ut c fel tidigare men vet inte.

Är du inte med på ekvationerna i #12 som utgår från vad du själv kom fram till i #8?

De två ekvationerna ger snabbt lösningen.

Jag kan inte lösa ut värdena och jag klarar inte att se någon självklar koppling mellan genom att 10-c dyker upp i båda.

Okej kolla din spoiler där. Okej.

20a - 2ac = -3

-2ac = -3 - 20a

C = -3-20a/-2a

C = (-3/2) - 10a

a(10-c)² = 10
2a(10-c) = -3

Är du med på dessa ekvationer?

a(10-c)² = 10
a(10-c) = -3/2  sätts in i 1:a ekv.

(-3/2)(10-c) = 10

10-c = -20/3

c = 10 + 20/3 = 50/3

sätts i i 2:a ekv., ger a.

Du kan förstås också lösa ut a i den 2:a ekvationen:

a = -3/2(10-c) och sätta in det i 1:a ekvationen.

Jo, Jag är med på dom. Det är svårt att lösa ut dem. Ja, eller det är ju enkelt när du gjort det där men hade inte grejat det själv. Hela uppgiften är alldeles för svår, egentligen.

Tack för hjälpen i alla fall, kollar vidare imorgon 👍

Läste noggrannare ditt inlägg #18.
Det är rätt, men hur fick du det?

Tillägg: 25 okt 2024 17:15

Såg fel, menade #16.

Så jag får ut att c = 50/3 och att a = 9/40

Stoppa in detta i 2a(10-c) = -3

Och får då: 18/40(10-(50/3)) = -3

Som resulterar i -3.3 = -3 :( 

Vad är fel nu då..

Nej räknade fel. Det blir rätt. Jag vänder på alla siffror och glömmer att byta tecken. Räknar fel, tappar bort mig. Jag vet inte. Bara snurrar i huvudet av alla siffror. 

Jag får det till att g(x) = 9/40(x^2-2xc+c^)

Eller g(x) = 9/40(x-50/3)^2 kanske.

Det är tydligen rätt enligt facit. Att hålla på med det här får mig att känna mig helt värdelös överlag.

Tack för hjälpen från alla i varje fall.

Om du går igenom uppgiften igen, och den här tråden, kan du säga något om vad problemen var som gjorde det svårt att fortsätta själv? T.ex., var det att du hade glömt någon egenskap hos parabler eller annat, från Matte 1 eller Matte 2, eller inte helt förstått när du lärde dig om det, eller allmänt förvirrande med variabler och uttryck, eller osäkerhet om vad frågan egentligen gällde, eller att uppgiften är så lång att du tappar överblicken efter ett tag, eller något slarvfel som av någon anledning är vanligt, eller sådant du kan fixa själv men inte brukar tro att du kan, eller något annat?

Om det är något du själv kan identifiera så kan det göra nästa liknande problem lättare att lösa.

Jo, kom inte ihåg någonting med parabler förutom hur man skriver funktionen på standardform. Att det var en dubbelrot reflekterade jag inte över eftersom jag inte längre mindes konceptet, men jag hade inte lyckats identifiera det på egen hand att det var något jag hade glömt eller behövde ta reda på.

Tydligen stora kunkapsluckor om hur man bryter ut värden, och försöker gå onödigt krångliga vägar istället för att bara ta det lugnt och identifiera att uttrycket redan är faktoriserat och klart. Massor med slarvfel som beror på bristande koncentration på grund av hjärntrötthet och att siffrorna i sig upplevs svåra att hålla reda på, av någon anledning.

Överlag kände jag mest att jag inte orkade tänka; hade inte tillräckligt med mental energi eller förmåga till att resonera kring uppgiften och felsöka mina egna misstag, samt var oförmögen till att reflektera över vad jag gjorde för någonting vid varje steg och vad det hade för betydelse sett till helheten. Min egen bedömning och känsla genom allt är att det var för svårt för mig, helt enkelt. Dels kunskapsmässigt men även mer på ett grundläggande plan, det blir för många variabler att hålla reda på.

Fast, jag fortsätter försöka ändå. Det går naturligtvis bättre nästa gång även om det kanske kommer vara en ganska liten förbättring bara 🙂

Ja, kämpa på! Några tankar som dyker upp:

1. Försök identifiera luckor i själva räknandet och jobba med dem tills du känner att du behärskar det grundläggande. Jag lyckas inte lista ut vad som hände här (#18), du kanske bara var trött, eller så är det exempel på vad jag menar (jag satte dit en nödvändig parentes):

C = (-3-20a)/-2a
C = (-3/2) - 10a

2. Gör det till en vana att ställa upp snygga, korrekta, effektiva och lättlästa lösningar, med minimalt med prat men ändå lätta att följa från rad till rad. Övas lämpligen först på enklare uppgifter än denna.

3. gå onödigt krångliga vägar istället för att bara ta det lugnt

Ja, det gäller att inte ha för bråttom, att verkligen titta på uttrycken och se vad de säger dig.
Först förstås vad uppgiften går ut på och vilken information som du kan använda.
"Ska jag lösa ut a eller c?", ja vad blir enklast när ekvationerna nu ser ut som de gör.

-------------

Förslag till lösning:

f(x) = ax² + bx + c
f(0) = 25  =>  c = 25      

f´(x) = 2ax + b
f´(0) = 0  =>  b = 0

f(10) = 10  => 
100a + 25 = 10
100a = -15
a = -0,15

f(x)= -0,15x² + 25       Första parabelns ekvation

f'(x) = -0,3x
f'(10) = -3                     Derivatan i P ska användas för den andra parabeln

------

g(x) = d(x - e)²            Parabeln har dubbelt nollställe i (e, 0)
g(x) = dx² - 2dex + de²
g'(x) = 2dx - 2de
g'(x) = 2d(x-e)
g'(10) = f'(10)= -3        De båda parablerna har samma lutning i P

2d(10-e) = -3
(
d(10 - e)² = 10              följer av g(10) = 10

Första ekv ger d(10 - e) = -3/2,     sätts in i andra ekv:
(-3/2)(10 - e) = 10
10 - e = -20/3                                    sätts in i första ekv:

2d(-20/3) = -3
2d = 9/20
d = 9/40
e = 10 + 20/3 = 50/3

g(x) = $\frac{9}{40}(x - \frac{50}{3})$                    Andra parabelns ekvation