Satser som är svårare att bevisa än att förstå (Matematik/Universitet)

Menar du förstå vad den säger eller förstå att den borde vara sann?

Öhh... spelar ingen roll, någon av de.

Brouwers fixpunktssats tycker jag är enkel och förstå och någorlunda intuitiv, men kollar man på bevisen (av vilka det finns många!) tycker jag mest man får huvudvärk.

https://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem

Fyrfärgsteoremet.

Om jag tolkar frågan rätt vill du ha exempel på satser där det är enkelt att förstå vad satsen säger, men svårt att förstå de bevis som vi känner till?

Ett av de kanske mest extrema exemplen på ett sådant "glapp" i nivå mellan påstående och bevis är nog detta:

Fermats stora sats. Ekvationen $x^n + y^n = z^n$ saknar positiva heltalslösningar för $n\geqslant 3$ .

Själva påståendet är ju i princip på grundskolenivå, men för att ens förstå idén i Wiles bevis krävs nog (minst) doktorandstudier i matematik. (Se även den här tråden.)

Ett mer rent topologiskt exempel är detta:

Sats. Rummet $\mathbb{R}^m$ är homeomorft* med $\mathbb{R}^n$ om och endast om $m=n$ .
^{* I bemärkelsen att det finns en bijektion $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ som tar öppna mängder i $\mathbb{R}^m$ till öppna mängder i $\mathbb{R}^n$ , och vice versa.}

För att förstå formuleringen behöver man veta vad en "bijektion" och en "öppen mängd" i $\mathbb{R}^n$ är, vilket jag tänker att man lär sig första eller andra terminen på en matematikutbildning. Ett av de mest straight forward bevisen är att använda homologi, vilket man lär sig i en första kurs i algebraisk topologi, vilket folk typiskt läser i slutet av ett kandidatprogram eller början av ett masterprogram i matematik.

Här är glappet kanske lite större. Själva påståendet är på gymnasienivå, men för att helt och hållet förstå något av alla de bevis som finns kommer man nog inte undan universitetsmatematik. (Men en intuitiv förklaring av idén i det topologiska beviset, som jag tror de flesta kan förstå finns här.)

Algebrans fundamentalsats. Varje icke-konstant polynom med komplexa koefficienter har en rot.

Jag tänkte först att nästan alla satser borde vara exempel på det du söker, för i strikt bemärkelse så är väl nästan alla satser lättare att förstå än att bevisa? Man kan ju svårligen ens se vad som skulle utgöra ett bevis för en sats man inte förstår. Men i en lite slappare bemärkelse av ordet 'förstå'—typ att man har en intuitiv känsla för "varför" satsen är sann—så är det ju inte lika självklart att satser är svårare att bevisa än att förstå. Många kan nog ge bevis för någon sats de inte har så mycket intuitivt grepp om.

Relationen mellan bevis och förklaringar i matematiken har blivit föremål för debatt inom matematikfilosofin. Den tog extra fart när fyrfärgssatsen bevisades med brute force av datorer. Då började vissa skruva lite obekvämt på sig för att de kände att vad vi vill ha i matematiken inte bara är svar, utan förståelse. Charmen med matten går liksom halvt förlorad om den mynnar ut i att datorer generera listor på sanna satser som ingen vet hur/varför de stämmer.
Filosofen Marc Lange (ej att förväxla med ingenjören Mark Lange på KTH) skrev en artikel här om året som heter Mathematical Explanations That Are Not Proofs, vars abstract delvis lyder:

The paper focuses on a particular example of an explanatory non-proof: an argument that mathematicians regard as explaining why a given theorem holds regarding the derivative of an infinite sum of differentiable functions. The paper contrasts this explanatory non-proof with various non-explanatory proofs (and non-explanatory nonproofs) of the same theorem.

Artikeln ger kanske inte så många konkreta exempel på sådana satser du frågar efter, men den resonerar en hel del kring distinktionen mellan bevis och förklaringar inom matematiken så den kan åtminstone ge lite relevant klarhet och göra det lättare att hitta egna exempel på det du söker.

Gödels teorem : Aritmetiken innehåller en sats som är sann men som inte går att bevisa

är mitt förslag - fastän inte från någon av de önskade områdena.

Det har dessutom gett upphov till en egen gren inom matematisk logik där man strävar att bygga upp hela aritmetiken utan induktionsaxiomet (som är nyckeln till Gödels bevis)

Derivata va?

Russell skrev:
Jag tänkte först att nästan alla satser borde vara exempel på det du söker, för i strikt bemärkelse så är väl nästan alla satser lättare att förstå än att bevisa? Man kan ju svårligen ens se vad som skulle utgöra ett bevis för en sats man inte förstår. Men i en lite slappare bemärkelse av ordet 'förstå'—typ att man har en intuitiv känsla för "varför" satsen är sann—så är det ju inte lika självklart att satser är svårare att bevisa än att förstå. Många kan nog ge bevis för någon sats de inte har så mycket intuitivt grepp om.
Relationen mellan bevis och förklaringar i matematiken har blivit föremål för debatt inom matematikfilosofin. Den tog extra fart när fyrfärgssatsen bevisades med brute force av datorer. Då började vissa skruva lite obekvämt på sig för att de kände att vad vi vill ha i matematiken inte bara är svar, utan förståelse. Charmen med matten går liksom halvt förlorad om den mynnar ut i att datorer generera listor på sanna satser som ingen vet hur/varför de stämmer.
Filosofen Marc Lange (ej att förväxla med ingenjören Mark Lange på KTH) skrev en artikel här om året som heter Mathematical Explanations That Are Not Proofs, vars abstract delvis lyder:
The paper focuses on a particular example of an explanatory non-proof: an argument that mathematicians regard as explaining why a given theorem holds regarding the derivative of an infinite sum of differentiable functions. The paper contrasts this explanatory non-proof with various non-explanatory proofs (and non-explanatory nonproofs) of the same theorem.
Artikeln ger kanske inte så många konkreta exempel på sådana satser du frågar efter, men den resonerar en hel del kring distinktionen mellan bevis och förklaringar inom matematiken så den kan åtminstone ge lite relevant klarhet och göra det lättare att hitta egna exempel på det du söker.

Jag gick en gång en masterkurs där läraren insisterade på att aldrig bevisa något: "the proof is in the book or if not in the book, somewhere" sa han varje gång han presenterade en sats. Istället förklarade han idéerna bakom satser, hans pedagogiska idé var att föreläsare i allmänhet slösar tid på bevis som studenterna själva kan gå igenom närhelst det passar detm.

Att förklara idéerna bakom satserna kan å andra sidan låta flummigt men jag skulle hävda att det är den bästa kurs jag tagit, aldrig lärt mig mer på någon annan kurs.

Smutsmunnen skrev:
Jag gick en gång en masterkurs där läraren insisterade på att aldrig bevisa något: "the proof is in the book or if not in the book, somewhere" sa han varje gång han presenterade en sats. Istället förklarade han idéerna bakom satser, hans pedagogiska idé var att föreläsare i allmänhet slösar tid på bevis som studenterna själva kan gå igenom närhelst det passar detm.
Att förklara idéerna bakom satserna kan å andra sidan låta flummigt men jag skulle hävda att det är den bästa kurs jag tagit, aldrig lärt mig mer på någon annan kurs.

Jag skulle säga att din lärare var en matematiker. Att regurgitera bevis som andra kommit på är inte matematik; det är att vara en papegoja.

Jordans kurssats är enkel att förstå i meningen att den verkar uppenbar, beviset är lite trixigare. Den säger att en sluten ej självskärande kurva i planet delar upp planet i två delar, där den ena delen är (homeomorf till) en disk.