Satsen om mellanliggande värden.

Har derivatan några nollställen i intervallet mellan 0 och 1?

ogrelito skrev:

Enligt Satsen om mellanliggande värden antar vi att f(x) är kontinuerlig på det slutna intervallet.

Åh nej verkligen inte, detta är helt fel. 

Då funktionen f(0)=3, 3>0 och att f(1)=-2, -2<0 byter tecken vet vi att den funktionen kommer att gå igenom x-axeln åtminstone 1 gång. Alltså har funktionen minst 1 nollställe. Hur visar jag att funktionen har exakt 1 nollställe?

Du har redan visat det, fast inte så fint.

------

Man gör såhär:

Alla polynom är kontinuerliga, alltså är f kontinuerlig. f antar värdet bla och bla här och här. f är monoton på intervallet. Det följer nu av satsen om mellanliggande värden att det finns exakt ett nolställe på intervallet.

deriverar vi funktionen får vi:

$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=6x^2-6x-4 f^{\text{'}}\left(x\right)=0 6x^2-6x-4=0 \\ {x}^2-x-\frac{2}{3}=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{2}{3}} x=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{11}{12}} \\ x=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{11}{12}} \end{gathered}$$

Vi hittar ett nollställe som ligger mellan intervallet.

Qetsiyah skrev:

ogrelito skrev:

Enligt Satsen om mellanliggande värden antar vi att f(x) är kontinuerlig på det slutna intervallet.

Åh nej verkligen inte, detta är helt fel. 

Då funktionen f(0)=3, 3>0 och att f(1)=-2, -2<0 byter tecken vet vi att den funktionen kommer att gå igenom x-axeln åtminstone 1 gång. Alltså har funktionen minst 1 nollställe. Hur visar jag att funktionen har exakt 1 nollställe?

Du har redan visat det, fast inte så fint.

------

Man gör såhär:

Alla polynom är kontinuerliga, alltså är f kontinuerlig. f antar värdet bla och bla här och här. f är monoton på intervallet. Det följer nu av satsen om mellanliggande värden att det finns exakt ett nolställe på intervallet.

Tack för att du rättade mig. Jag är riktigt dålig på att hänvisa till olika satser. Men det jag skrev innan var bara tillräckligt för att bevisa att det finns minst ett nollställe.

Jag vill kommentera en liten petig grej.

Att enbart visa att derivatan inte har nollställen är inte tillräckligt eftersom funktionen kan byta riktning i en singulär punkt. (Men det kan inte hända då polynom är glatta, jag vet inte om man skulle vara tvungen att skriva detta på en tenta...)

Ja exakt, du måste visa att den är monoton i intevallet, det gör du med derivatan.

Qetsiyah skrev:

Jag vill kommentera en liten petig grej.

Att enbart visa att derivatan inte har nollställen är inte tillräckligt eftersom funktionen kan byta riktning i en singulär punkt. (Men det kan inte hända då polynom är glatta, jag vet inte om man skulle vara tvungen att skriva detta på en tenta...)

Ja exakt, du måste visa att den är monoton i intevallet, det gör du med derivatan.

Ok då fattar jag!

Men om jag får fram att derivatan blir noll i punkten  $x=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{11}{12}}$ och att derivatan blir negativ för x=0, x=1 och $x=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{11}{12}}$.

Kan man då säga att kurvan har strikt negativ lutning och kommer därför bara gå igenom x-axeln 1 gång.

Alltså har vi exakt en lösning.

Har jag tänkt rätt eller måste jag bevisa något mer?

Tack för att du rättade mig. Jag är riktigt dålig på att hänvisa till olika satser. Men det jag skrev innan var bara tillräckligt för att bevisa att det finns minst ett nollställe.

Nej, det var det inte. För att visa att det finns minst ett nollställe behöver du visa att funktionen har ett värde som är större än 0 och ett värde som är mindre än 0, och att funktionen är kontinuerlig däremellan (det är den, eftersom alla polynom och därmed även summan av polynom är kontinuerlig). DÅ kan du använda satsen om kontinuerliga vädern fär att visa att funktionen har minst ett nollställe i värdet mellan de båda nämnda punkterna.

Du måste visa att derivatan är negativ för alla x∈[0, 1], det räcker inte att räkna ut derivatan i intervallets ändpunkter!

f' har sina ENDA nollställen i två punkter som är utanför intervallet vi är intresserade av. 

$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=6x^2-6x-4 f^{\text{'}}\left(x\right)=0 6x^2-6x-4=0 \\ {x}^2-x-\frac{2}{3}=0 \\ x=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{11}{12}} x=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{11}{12}} \end{gathered}$$

x-värden för $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$

Båda x värden ligger utanför intervallet.

Jag vet inte riktigt vad jag ska göra med dessa värden.

Du kan visa att funktionen är monoton på intervallet på två sätt:

1. Funktionens derivata har endast två nollställen, ingen av de ligger i intervallet.

2. Funktionens derivata är ett andragradspolynom med positivr teckan framför x^2 (glad gubbe). Alltså antar f' negativa värden mellan dess nollställen, och intervallet är emellan nollställerna.

Aha okej då fattar jag!

Så funktionen kommer inte att byta riktning mellan intervallet [0,1] eftersom derivatans nollställen ligger utanför funktionens intervall.

ogrelito skrev:

Aha okej då fattar jag!

Så funktionen kommer inte att byta riktning mellan intervallet [0,1] eftersom derivatans nollställen ligger utanför funktionens intervall.

Ja!

Tack så mycket för hjälpen!