satsen om jämförelser mellan integraler

Nej, tyvärr. Om $f(t)=t \cdot sin(1/t)$ gäller endast att $f(n) \leq f(t) \leq f(n+1)$ om $f(t)$ är avtagande vilket funktionen inte är. Vad facit gör när det skriver att det uppenbart för $n > 1$ gäller att $\displaystyle nsin(\frac{1}{n+1}) \leq \int_{n}^{n+1}\!tsin(\frac{1}{t})\,dt \leq (n+1)sin(\frac{1}{n})$ är att den maximerar extremfallen. $n < n+1$ och således $\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$ gör att $sin(1/n)>sin(1/(n+1)$. Av detta kan man ställa upp olikheten ovan med betoning på att $n>1$.

MrPotatohead skrev:

Nej, tyvärr. Om $f(t)=t \cdot sin(1/t)$ gäller endast att $f(n) \leq f(t) \leq f(n+1)$ om $f(t)$ är avtagande vilket funktionen inte är. Vad facit gör när det skriver att det uppenbart för $n > 1$ gäller att $\displaystyle nsin(\frac{1}{n+1}) \leq \int_{n}^{n+1}\!tsin(\frac{1}{t})\,dt \leq (n+1)sin(\frac{1}{n})$ är att den maximerar extremfallen. $n < n+1$ och således $\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$ gör att $sin(1/n)>sin(1/(n+1)$. Av detta kan man ställa upp olikheten ovan med betoning på att $n>1$.

kan man använda medelvärde satsen för integraler? 

Ja, det kan man. Kan du komma på hur? Tips: Det gäller att om $c \in [n,n+1]$ och $n \to \infty$ så $c \to \infty$.

MrPotatohead skrev:

Ja, det kan man. Kan du komma på hur? Tips: Det gäller att om $c \in [n,n+1]$ och $n \to \infty$ så $c \to \infty$.

$$\begin{gathered} f\left(c\right)(n+1-n) =\hspace{0.17em}{\int }_n^{n+1}t\sin (1/t)dt=f\left(c\right) \\ \underset{c\to \infty }{\lim }f\left(c\right) =\hspace{0.17em}1 \\ kan man göra så här? eller går det inte pga f\left(x\right)\hspace{0.17em}inte är avtagnade? \\ f\left(n\right)\le f\left(c\right)\le f(n+1) \\ \underset{n\to \infty }{\lim }f\left(n\right) =\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin (1/t)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }f(n+1)=\underset{n\to \infty }{\lim }(n+1)\sin (1/(n+1\left)\right) = 1 \\ f\left(c\right) =\hspace{0.17em}1\hspace{0.17em} \end{gathered}$$

med frågan mena jag med undre delen ^^

För att använda medelvärdessatsen räcker det att funktionen är kontinuerlig på ett slutet intervall. Så ditt resonemang i första delen håller. 

Olikheten i andra delen kan du precis som du säger inte skriva ut när funktionen inte är växande i detta fall. 

MrPotatohead skrev:

För att använda medelvärdessatsen räcker det att funktionen är kontinuerlig på ett slutet intervall. Så ditt resonemang i första delen håller. 

Olikheten i andra delen kan du precis som du säger inte skriva ut när funktionen inte är växande i detta fall. 

varför behöver den vara växande i detta fall?

För att du har skrivit f(n+1) är större än f(n), vilket bara gäller för växande funktioner. 

MrPotatohead skrev:

För att du har skrivit f(n+1) är större än f(n), vilket bara gäller för växande funktioner. 

detta funkar väl?

1/f(n+1) ≤ 1/f(c) ≤ 1/f(n)

sen att 

lim f(n+1) och lim f(n) går mot 1 så f(c) = 1?

Nej, tyvärr. Det resonemanget kräver att funktionen fortfarande är växande. Tänk på att alla typer av olikheter du ställer upp behöver gälla generellt med eventuella krav likt n>1 ovan. En olikhet med en funktion brukar också generellt kräva någon egenskap hos funktionen som gör den förutsägbar. 

Vad var det du inte gillade med ditt resonemang i första delen av #5, eller facits resonemang?

MrPotatohead skrev:

Nej, tyvärr. Det resonemanget kräver att funktionen fortfarande är växande. Tänk på att alla typer av olikheter du ställer upp behöver gälla generellt med eventuella krav likt n>1 ovan. En olikhet med en funktion brukar också generellt kräva någon egenskap hos funktionen som gör den förutsägbar. 

Vad var det du inte gillade med ditt resonemang i första delen av #5, eller facits resonemang?

Det va inte jag inte gillade ert resonemang utan att jag vill komma på ett sätt att använda olikheterna. För att många andra uppgifter på föregående prov använder olikheter. Resonemanget i #5 förstår jag 100%

Jag förstår. Om du vill köra med olikheter är nog facits alternativ bäst. Det är nog det enda man kan ställa upp när man inte har en monoton funktion.

MrPotatohead skrev:

Jag förstår. Om du vill köra med olikheter är nog facits alternativ bäst. Det är nog det enda man kan ställa upp när man inte har en monoton funktion.

Tack för hjälpen ^^

:D