Sant eller falskt för okänd matris
Tycker denna fråga är rätt klurig, men har några resonemang. Rätta mig gärna om jag har fel.
a) Bör vara falskt med motivering att rang A + nolldim A = n (antal kolonner i matrisen)
Jag vet att n = 42, så om nolldim A = 0 så är rang A = 42 vilket enbart är möjligt för en kvadratisk matris, vilket vår okända matris uppenbarligen inte är. Så, detta måste vara falskt.
b) Är osäker på denna. Om nolldim A inte är lika med/större än 2 så är den alltså 1 eller 0. 0 kan den inte vara (bevisat i a-uppgiften). Men hur vet jag att nolldim A inte är 1?
c) Osäker här med. Om vektorerna u och v utgör en bas för nollrummet till A så måste väl nolldim = 2, om jag inte tänker fel. Det ger att rang A = 40. Definitionen av rang är "maximala antalet linjärt oberoende kolonner i matris A", så jag har maximalt 40 linjärt oberoende kolonner i A. Men vad hjälper det mig för att svara om detta är sant eller falskt?
d) Vet inte hur jag ska tänka alls på denna.
På b): du vet att rangen kan vara som mest 40, eftersom värderummet är ett delrum till R40.
På c): rangen är dimensionen på värderummet till avbildningen. Värderummet är således ett 40-dimensionellt delrum till R40. Slutsats?
På d): se b).
PATENTERAMERA skrev:På b): du vet att rangen kan vara som mest 40, eftersom värderummet är ett delrum till R40.
På c): rangen är dimensionen på värderummet till avbildningen. Värderummet är således ett 40-dimensionellt delrum till R40. Slutsats?
På d): se b).
Tack för hjälpen, men jag har lite svårt att förstå vad värderummet innebär. Har läst i min bok och kollat på internet och tolkar värderummet (även kallat kolonnrummet) som mängden av alla linjärkombinationer av kolonnerna i en matris A. Men, hur den informationen ska göra att jag i uppgift b inser att rangen som mest kan vara 40 förstår jag inte riktigt.
Samma problem då med uppgift c och d. I uppgift C har jag ju kommit fram till att rangen är 40, så om värderummet nu är ett 40-dimensionellt rum så antar jag detta blir en 40x40-matris = kvadratisk matris = har entydig lösning till varje högerled Y, så alltså är det sant. Men som sagt, även här vet jag inte riktigt vad värderummet innebär.
Värderummet är alla y för vilka det finns åtminstone en lösning till ekvationen Ax = y. Det är samma sak som det delrum som spänns upp av kolonnerna i matrisen A. Rangen är dimensionen på värderummet, eller om man så vill dimensionen på det delrum (kolonnrummet) som spänns upp av kolonnerna.
Rangen är således dimensionen av det delrum som kolonnerna i matrisen spänner upp. Eftersom kolonnerna kan ses som vektorer i R40 så kan kolonnerna som mest spänna upp hela R40 - som förstås har dimensionen 40. Därför kan rangen som mest vara 40. Och eftersom vi har 42 = rang + nolldim, så måste nolldim vara större än eller lika med 2.
Rangen i c) är 40, det betyder att kolonnrummet har dimensionen 40, men om ett delrum till R40 har dimensionen 40 så måste det vara hela R40. Så ekvationen Ax = y har lösning för varje y i R40.
Om den enda lösningen till Ax = 0 är x = 0 så är nolldim = 0. Men vi hade att nolldim 2.
PATENTERAMERA skrev:Värderummet är alla y för vilka det finns åtminstone en lösning till ekvationen Ax = y. Det är samma sak som det delrum som spänns upp av kolonnerna i matrisen A. Rangen är dimensionen på värderummet, eller om man så vill dimensionen på det delrum (kolonnrummet) som spänns upp av kolonnerna.
Rangen är således dimensionen av det delrum som kolonnerna i matrisen spänner upp. Eftersom kolonnerna kan ses som vektorer i R40 så kan kolonnerna som mest spänna upp hela R40 - som förstås har dimensionen 40. Därför kan rangen som mest vara 40. Och eftersom vi har 42 = rang + nolldim, så måste nolldim vara större än eller lika med 2.
Rangen i c) är 40, det betyder att kolonnrummet har dimensionen 40, men om ett delrum till R40 har dimensionen 40 så måste det vara hela R40. Så ekvationen Ax = y har lösning för varje y i R40.
Om den enda lösningen till Ax = 0 är x = 0 så är nolldim = 0. Men vi hade att nolldim 2.
Edit: Stort tack! Jag förstår nästan allt nu, men är fortfarande lite osäker på d-uppgiften.
Jag är med resonemanget du skrev: Om den enda lösningen till Ax = 0 är x = 0 så är nolldim = 0. Men vi hade att nolldim ≥ 2.
Men, det man letade efter var väl någon lösning x =/= 0 sådan att Ax = 0. Hur kopplar man det till ditt resonemang?
Om nolldim är större än eller lika med två så är nolldim inte lika med 0.
Ekvationen Ax = 0 har den unika lösningen x = 0 om och endast om nolldim = 0.
Eftesom nolldim inte är 0 så måste det finnas ett x skilt från 0 sådant att Ax = 0.
