Sannolikhetsuppgift (betingad sannolikhet)

Hej! Jag har en uppgift som jag kör totalt fast på. Jag behöver verkligen hjälp med denna då jag känner mig helt lost. Uppgiften lyder "Suppose that there is a one-in-a-million chance that a person is struck by lightning and that there are n people in a city during a thunderstorm.

If n = 2 million, what is the probability that somebody is struck?".

Jag försöker lösa denna på följande sätt:

Jag sätter mitt utfallsrum S = {p1,p2,...,pn} och att sannolikheten för varje utfall är 10^-6.

Jag väljer sedan att ansätta händelserna $A = {E n s p e c i f i k p e r s o n b l i r t r ä f f a d} B = {N å g o n b l i r t r ä f f a d}$

Då gäller ju att $P (A) = 10^{- 6}$ och vi söker nu alltså P(B).

Jag tänker nu att händelserna A och B borde vara oberoende (?) eftersom ifall man tänker sig att nedslagen inte är beroende på vem den slog ned i föregående nedslaget så borde detta innebära att $P (A | B) = P (A) \Rightarrow P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Men här kör jag totalt fast. Jag skulle verkligen uppskatta om någon kunde hjälpa mig.

Mvh!

Varför krångla till det? Komplementhändelsen till "någon blir träffad av blixten" är "ingen blir träffad av blixten", och den sannolikheten är enkel att beräkna.

Okey, kan du utveckla vad du menar? Det är på detta sätt de löser andra exempel i kursboken. Jag förstår inte varför det inte skulle fungera här också. Jag är helt ny på detta område.

Sannolikheten att bli träffad av blixten: $10^{-6}$

Sannolikheten att inte bli träffad av blixten: $1-10^{-6}= 0,999999$

Sannolikheten att ingen av 2 miljoner personer blir träffad av blixten: $0,999999^{2000000}$

Sannolikheten att någon av 2 miljoner människor blir träffad av blixten: $1-0,999999^{2000000}$

Okej, ja din lösning är ju onekligen väldigt enkel. Jag undrar dock fortfarande hur jag kan lösa uppgiften i termer av oberoende/betingande händelser? Det känns misstänksamt enkelt ifall det är meningen att lösa uppgiften på ditt sätt. I kapitlet har vi precis innan gått igenom betingade händelser/oberoende händelser osv.

Uppgiftens språk är från början tvetydligt och vagt men delar Smaragdalenas tolkning.

Har oavsett inget uppenbart med betingad sannolikhet att göra då det inte finns fler än en sannolikhet listad. En händelse och dess komlement kommer ju ha associerade betingade sannolikheter 0

ex: P(ingen träffas av blixten | någon träffas av blixten) = 0

vilket är rätt så meningslöst att tänka på i termer av betningad sannolihet.

Eller kanske är det en övning i att använda approximationen

$(1 - 1/n)^n \approx 1/e$

så

$1 - (1 - 10^{-6})^{2*10^{6}} \approx 1 - 1/e^2$

Okej tack för svar!

Jag gjorde precis om denna uppgift. Trots att det uppenbarligen går att lösa problemet mkt enkelt genom att använda multiplikationsprincipen så försökte jag ändå lösa den med de metoder vi lärt oss i föregående kapitel. Jag har nu gjort såhär och jag tycker min lösning verkar rimlig. Vad tror ni?

Kalla händelsen $A_{i} = {p e r s o n i t r ä f f a s} \Rightarrow P (A_{i}) = 10^{- 6} \forall i = 1, 2, . . ., n$

Detta ger ju såklart att $P ({A_{i}}^{c}) = 1 - 10^{- 6}$ om komplementet till A_i betecknar att person i ej träffas.

Då ger detta att sannolikheten för att ingen av n personer träffas är $P ({A_{1}}^{c} \cap {A_{2}}^{c} \cap . . . \cap {A_{n}}^{c}) = {\prod P ({A_{i}}^{c})}_{i = 1}^{n}$ . Detta eftersom vi utan inskränkning kan anta att händelserna $A_{i}, A_{j}$ är oberoende $\forall i \neq j$ . (Dvs mao så gäller att $P (A_{i} | A_{j}) = \frac{P (A_{i} \cap A_{j})}{P (A_{j})} = P (A_{i}) \Rightarrow P (A_{i} \cap A_{j}) = P (A_{i}) P (A_{j}) \forall i \neq j$ och på samma sätt så generaliseras detta till att det som står ovan gäller).

Dvs sannolikheten för att någon av n personer träffas är då $P (n g n t r ä f f a s) = 1 - {\prod P ({A_{i}}^{c})}_{i = 1}^{n} = 1 - (1 - 10^{- 6})^{n}$ . Vilket såklart är samma svar som innan. Tänker jag rätt när jag löser uppgiften på detta sätt?

Mvh!

Det verkar vara P(någon träffas) = 1-P(ingen träffas) vilket är precis samma sak som jag skrivit fast med mycket krångligare beteckningar.

Svara

Visa senaste svar