SAnnolikhetsterori

Variansen för en resistor blir väl 1/12 (kΩ)^2?

Variansen för summan av 48 oberoende resistorer blir 48*(1/12 (kΩ)^2).

Frekvensfunktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{1}{48}... (9.5*48)\le x \le (10.5*48) \\ f\left(x\right)=\frac{1}{48}... 456\le x \le 504 \end{gathered}$$

Väntevärdet:
$\mu =480\Omega$

Variansen:
$$\begin{gathered} V\left(x\right) = {\int }_{456}^{504}f\left(x\right){(x-\mu )}^{2}dx \\ V\left(x\right)=\frac{1}{48}{\left[\frac{{(x-\mu )}^3}{3}\right]}_{456}^{503}=\frac{1}{48}\frac{2*{24}^3}{3}=192\Omega \end{gathered}$$

Standardavvikelsen:

$\sigma =\sqrt{192}\approx 14\Omega$

Nu hade vi ju inte en normalfördelning utan en likformig fördelning. Resonemang om varians och standardavvikelse, som om vi hade en normalfördelning tycks därför tämligen meningslösa :-)

Sannolikheten att ligga inom intervallet $480\pm 5\Omega$ tycks därför helt enkelt vara $\frac{5}{24}\approx 21\%$

Affe, summan kommer inte att bli likformigt fördelad.

Det är en bra idé att approximera att summan är normalfördelad (via centrala gränsvärdessatsen).

På Wikipedia finns ett bra exempel med upprepade tärningskast en bit ner på sidan. 

Bra figur  här: http://mathworld.wolfram.com/UniformSumDistribution.html

Affe Jkpg skrev:

Frekvensfunktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{1}{48}... (9.5*48)\le x \le (10.5*48) \\ f\left(x\right)=\frac{1}{48}... 456\le x \le 504 \end{gathered}$$

Väntevärdet:
$\mu =480\Omega$

Variansen:
$$\begin{gathered} V\left(x\right) = {\int }_{456}^{504}f\left(x\right){(x-\mu )}^{2}dx \\ V\left(x\right)=\frac{1}{48}{\left[\frac{{(x-\mu )}^3}{3}\right]}_{456}^{503}=\frac{1}{48}\frac{2*{24}^3}{3}=192\Omega \end{gathered}$$

Standardavvikelsen:

$\sigma =\sqrt{192}\approx 14\Omega$

Nu hade vi ju inte en normalfördelning utan en likformig fördelning. Resonemang om varians och standardavvikelse, som om vi hade en normalfördelning tycks därför tämligen meningslösa :-)

Sannolikheten att ligga inom intervallet $480\pm 5\Omega$ tycks därför helt enkelt vara $\frac{5}{24}\approx 21\%$

Jag tänker att det blir en normalfördelning eftersom vi seriekopplar 48 motstånd?

Dr.G pekar på ett bra exempel med att kasta tärning, där summan av tärnings-kastens "ögon" blir normalfördelad.

Affe Jkpg skrev:

Frekvensfunktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{1}{48}... (9.5*48)\le x \le (10.5*48) \\ f\left(x\right)=\frac{1}{48}... 456\le x \le 504 \end{gathered}$$

Väntevärdet:
$\mu =480\Omega$

Variansen:
$$\begin{gathered} V\left(x\right) = {\int }_{456}^{504}f\left(x\right){(x-\mu )}^{2}dx \\ V\left(x\right)=\frac{1}{48}{\left[\frac{{(x-\mu )}^3}{3}\right]}_{456}^{503}=\frac{1}{48}\frac{2*{24}^3}{3}=192\Omega \end{gathered}$$

Standardavvikelsen:

$\sigma =\sqrt{192}\approx 14\Omega$

Nu hade vi ju inte en normalfördelning utan en likformig fördelning. Resonemang om varians och standardavvikelse, som om vi hade en normalfördelning tycks därför tämligen meningslösa :-)

Sannolikheten att ligga inom intervallet $480\pm 5\Omega$ tycks därför helt enkelt vara $\frac{5}{24}\approx 21\%$

Summan av resistanserna var visst normalfördelad och vi tycks i stället få:

Sannolikheten att ligga inom intervallet 480±5Ω tycks beräknas utifrån:
$\frac{5}{\sqrt{192}}\sigma \approx 0.36\sigma$

Vid tabellslagning får jag 28% 

Sannolikheten blir mycket högre än 28 %. 

Räkna ut summans (varians och) standardavvikelse.

Hur många standardavvikelser brett är intervallet?

Approximera att summan är normalfördelad och slå i tabell.