Sannolikhetsteori. Täthetsfunktion. (Matematik/Universitet)

Din fråga är lite oklar.

Om du integrerar f(x,y) (täthetsfunktionen) över hela ditt utfallsrum så blir det 1. Det ger dig värdet på c.

Du integrerar f(x,y) och får då sannolikheten för det område du integrerar över.

Om du till exempel har integrationsgränserna 1.99 till 2.01 för x, och 2.99 till 3.01 för y, får du sannolikheten för en rektangel "nära (2,3)"

I det här fallet är integrationsgränserna från minus oändligheten till oändligheten, så dubbelintegralen betyder, uttryckt i ord, ungefär "summan av sannolikheten för ALLA x och y", och det måste ju vara 1.

Jämför en vanlig endimensionell täthetsfunktion. Om du integrerar den över ALLA x, så får du 1.

Bubo skrev:
Du integrerar f(x,y) och får då sannolikheten för det område du integrerar över.
Om du till exempel har integrationsgränserna 1.99 till 2.01 för x, och 2.99 till 3.01 för y, får du sannolikheten för en rektangel "nära (2,3)"

I det här fallet är integrationsgränserna från minus oändligheten till oändligheten, så dubbelintegralen betyder, uttryckt i ord, ungefär "summan av sannolikheten för ALLA x och y", och det måste ju vara 1.

Jämför en vanlig endimensionell täthetsfunktion. Om du integrerar den över ALLA x, så får du 1.

Jag har alltid tänkt att

fördelningsfunktioner då ska man integrera

täthetsfunktioner ska man derivera.

mrlill_ludde skrev:
Jag har alltid tänkt att

fördelningsfunktioner då ska man integrera
täthetsfunktioner ska man derivera.

Det beror väl rimligtvis på vad frågan är?

Vad är förresten din fråga i den här tråden?

Bubo skrev:
mrlill_ludde skrev:
Jag har alltid tänkt att

fördelningsfunktioner då ska man integrera
täthetsfunktioner ska man derivera.
Det beror väl rimligtvis på vad frågan är?

Vad är förresten din fråga i den här tråden?

Var nog mer när man ska derivera eller integrera. För jag tycker? att de gör olika på olika uppgifter.

Bubo skrev:
mrlill_ludde skrev:
Jag har alltid tänkt att

fördelningsfunktioner då ska man integrera
täthetsfunktioner ska man derivera.
Det beror väl rimligtvis på vad frågan är?

Vad är förresten din fråga i den här tråden?

Så jag tolkar det som att fördelningsfunktion är integrera => stora F
täthetsfunktion är derivera => lilla f.

Men inte.. Vad är det då?

Vi betecknar täthetsfunktionen med f(x). Då blir dess fördelningsfunktion F(x). Sannolikheten för att något händer någonstans i utfallsrummet är 100%. Därför gäller det att $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$ för det endimensionella fallet.

Det är det som utnyttjas i första uppgiften, fast i två dimensioner. Det ges en täthetsfunktion f med en okänd konstant och frågan är vad är vad måste den okända konstanten vara för att f ska vara en (korrekt) täthetsfunktion.

I andra uppgiften ges fördelningsfunktionen F(x), och det frågas efter täthetsfunktionen f(x).

Har du fördelningsfunktionen F och det frågas efter täthetsfunktionen f så deriverar du (f(x)=dF(x)/dx). Har du täthetsfunktionen f(x) och det frågas efter fördelningsfunktionen F så integrerar du (F(x)=int(f(x)dx).

Dr Stenberg skrev:
Vi betecknar täthetsfunktionen med f(x). Då blir dess fördelningsfunktion F(x). Sannolikheten för att något händer någonstans i utfallsrummet är 100%. Därför gäller det att $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$ för det endimensionella fallet.
Det är det som utnyttjas i första uppgiften, fast i två dimensioner. Det ges en täthetsfunktion f med en okänd konstant och frågan är vad är vad måste den okända konstanten vara för att f ska vara en (korrekt) täthetsfunktion.
I andra uppgiften ges fördelningsfunktionen F(x), och det frågas efter täthetsfunktionen f(x).
Har du fördelningsfunktionen F och det frågas efter täthetsfunktionen f så deriverar du (f(x)=dF(x)/dx). Har du täthetsfunktionen f(x) och det frågas efter fördelningsfunktionen F så integrerar du (F(x)=int(f(x)dx).

Jaa ok. Då är det typ så som jag tänkte.
Men så... om de frågar om täthetsfunktionen då ska jag derivera och hitta konstanten och sedan sätta det lika med ett. .

och om de frågar om fördelsningsfunktionen då ska jag integrera, hitta c, och sätta lika med 1..

Jag tror du är inne på rätt spår, men jag skulle vilja att du preciserar lite mer. Om de frågar om täthetsfunktionen då ska du derivera fördelningsfunktionen, förutsatt att den är given eller kan räknas ut.

Gällande uppgiften. För att kunna hitta konstanten c i täthetsfunktionen behöver du använda täthetsfunktionens egenskap att integralen av täthetsfunktionen över hela rummet ( $- \infty$ till $\infty$ i alla dimensioner) är lika med 1. Därefter är det bara number crunching som gäller och se vad som trillar ut på andra sidan, och lösa ut c ur den ekvation som uppkommer.

Det du kopierade från Wikipedia är en bra sammanfattning av grundläggande begrepp och samband. Mitt tips är att du försöker att precisera det du gör i de begrepp som finns och vilka samband du använder mellan de olika begreppen så att grunderna sitter. När man förstår sambanden så släpper det och då är det bara att räkna.

Dr Stenberg skrev:
Jag tror du är inne på rätt spår, men jag skulle vilja att du preciserar lite mer. Om de frågar om täthetsfunktionen då ska du derivera fördelningsfunktionen, förutsatt att den är given eller kan räknas ut.
Gällande uppgiften. För att kunna hitta konstanten c i täthetsfunktionen behöver du använda täthetsfunktionens egenskap att integralen av täthetsfunktionen över hela rummet ( $- \infty$ till $\infty$ i alla dimensioner) är lika med 1. Därefter är det bara number crunching som gäller och se vad som trillar ut på andra sidan, och lösa ut c ur den ekvation som uppkommer.
Det du kopierade från Wikipedia är en bra sammanfattning av grundläggande begrepp och samband. Mitt tips är att du försöker att precisera det du gör i de begrepp som finns och vilka samband du använder mellan de olika begreppen så att grunderna sitter. När man förstår sambanden så släpper det och då är det bara att räkna.

Men den här då? För här efterfrågas ju täthet (som jag uppfattat det så ska man derivera, alltså hitta lilla f)

men då är denna redan deriverad och klar? Eller?

Dr Stenberg skrev:

..

? =/

mrlill_ludde skrev:
Dr Stenberg skrev:

..
? =/

Jag vet inte vad ovanstående betyder, men om uppgiften är att finna f när du har F så ska du derivera, och om den är att finna F när du har f så ska du integrera, men det finns en hel mängd andra frågor man kan ställa, t.ex. vad f blir när man kombinerar två andra f1 och f2, eller som i den här uppgiften att definiera färdigt en f som redan är nästan helt given. Du ska integrera, men bara för att se att integralen blir 1, som den måste bli för att f ska vara en täthetsfunktion.

Laguna skrev:
mrlill_ludde skrev:
Dr Stenberg skrev:

..
? =/
Jag vet inte vad ovanstående betyder, men om uppgiften är att finna f när du har F så ska du derivera, och om den är att finna F när du har f så ska du integrera, men det finns en hel mängd andra frågor man kan ställa, t.ex. vad f blir när man kombinerar två andra f1 och f2, eller som i den här uppgiften att definiera färdigt en f som redan är nästan helt given. Du ska integrera, men bara för att se att integralen blir 1, som den måste bli för att f ska vara en täthetsfunktion.

Men så denna, då är den redan deriverad och klar?

Först bestäms fördelningsfunktionen för $U$ .

$F_U(u) = P(U \leq u)\ , \quad -\infty < u=""><>$

Sedan deriveras den för att få fram täthetsfunktionen för $U$ .

$f_U(u) = (\frac{d F_{U}}{du})(u)\ , \quad -\infty < u=""><>$

Du kommer att behöva integrera för att lösa den hör uppgiften, men, som du vet:

Gör en ny tråd för den nya frågan, det blir så rörigt annars (och så står det i Pluggakutens regler). /moderator

För fördelningsfunktionen föredrar jag att först bestämma funktionen

$P(\min(X,Y) > u) = P(X > u \text{ och } Y>u) = \ldots$

för att sedan sätta

$P(\min(X,Y) \leq u) = 1 - P(\min(X,Y) > u).$