Sannolikhetsteori: Disjunkta händelser kan inte vara oberoende

Om A och B är disjunkta så gäller väl $A\cap B=\varnothing$, vilket torde implicera att $P(A\cap B)=0\ne P\left(A\right)P\left(B\right)$.

Hur definieras beroende händelser?

Oj jag råkade skriva union istället för snitt

Det är ganska uppenbart när man tänkt igenom det. Om du slagit en 5a på tärningen kan du helt säkert säga att du inte har slagit en 6a. Så det beror väldigt mycket på om du fick 5an eller inte 😉

Jag är inte säker på att jag förstår frågan. Undrar du om det finns något tredje alternativ utöver beroende och oberoende? Det gör det (så vitt jag) inte, utan 'oberoende' betyder helt enkelt 'inte beroende' så man kan alltid sluta sig till det ena utifrån negationen av det andra.

Intuitivt kan man tänka på oberoende som:

Händelserna A och B är oberoende om info om huruvida A sker inte ändrar vår bedömning av sannolikheten att B sker.

Med disjunkta händelser är detta aldrig fallet, om A och B utesluter varandra och vi får veta att A sker så kan vi dra slutsatsen att B ej sker. 

Vad många svar jag får från er! Tack!

Det är ganska uppenbart när man tänkt igenom det. Om du slagit en 5a på tärningen kan du helt säkert säga att du inte har slagit en 6a. Så det beror väldigt mycket på om du fick 5an eller inte 😉

Intuitivt kan man tänka på oberoende som:

Händelserna A och B är oberoende om info om huruvida A sker inte ändrar vår bedömning av sannolikheten att B sker.

Med disjunkta händelser är detta aldrig fallet, om A och B utesluter varandra och vi får veta att A sker så kan vi dra slutsatsen att B ej sker. 

Ah! Då vet jag hur jag ska tänka.

Jag är inte säker på att jag förstår frågan. Undrar du om det finns något tredje alternativ utöver beroende och oberoende? Det gör det (så vitt jag) inte, utan 'oberoende' betyder helt enkelt 'inte beroende' så man kan alltid sluta sig till det ena utifrån negationen av det andra.

Ja, jag menade så för jag tyckte det lät konstigt att de skulle vara beroende. Jag utgick från någon vag idé om att 'de har ingenting med varandra att göra' för att de är disjunkta och kan därmed inte vara beroende. Ja nåt sånt jag vet inte.

Vår föreläsare nämnde på samma bad-intuition-killing-spree att något speciellt händer när två händelser är exakt lika, jag minns inte vad längre, vad kan det ha varit?

Kan det ha handlat om samma sak som jag frågade här? Om A och B är lika med varandra, men är inte hela utfallsrummet, så kan de inte vara oberoende heller eftersom $P(A\bigcap B)=P(A)=P(B)\neq P(A)^2=P(B)^2$?

Qetsiyah skrev:

Ja, jag menade så för jag tyckte det lät konstigt att de skulle vara beroende. Jag utgick från någon vag idé om att 'de har ingenting med varandra att göra' för att de är disjunkta och kan därmed inte vara beroende. Ja nåt sånt jag vet inte.

Precis den tanken är väldigt vanlig för det känns så intuitivt att "disjunkta" innebär typ "helt orelaterade", men egentligen blir ju disjunkta händelser typ så beroende det bara går.

Jag kan passa på att tipsa om att ladda ned kursen Statistics 110: Probability med Joe Blitzstein från MIT (jag har för mig att både de filmade föreläsningarna och tentor osv finns på MITs egen hemsida). Den är inte superbasic men jag tror att du har förkunskaperna som behövs och då är den väldigt bra. Jag kom att tänka på den för att han nämner att det är många som blandar ihop just disjunkt och oberoende.

Qetsiyah skrev:

Vår föreläsare nämnde på samma bad-intuition-killing-spree att något speciellt händer när två händelser är exakt lika, jag minns inte vad längre, vad kan det ha varit?

Kan det ha handlat om samma sak som jag frågade här? Om A och B är lika med varandra, men är inte hela utfallsrummet, så kan de inte vara oberoende heller eftersom $P(A\bigcap B)=P(A)=P(B)\neq P(A)^2=P(B)^2$?

Jag tycker det är klart mest intuitivt att tänka på beroende/oberoende i termer av betingade sannolikheter.

Det följer ju omedelbart från $P(A\cap B)=P\left(A\right)P\left(B\right)$, beroende på om vi dividerar båda led med P(A) eller med P(B), att P(A|B)=P(A) och P(B|A)=P(B). Händelserna är alltså oberoende om (och endast om) den betingade sannolikheten är densamma som den "obetingade". Om händelserna är identiska så blir VL i båda fall 1, men eftersom varken A eller B i ditt exempel utgör hela utfallsrummet så är HL inte 1. Alltså är identiska händelser inte oberoende.

Det är förstås också väldigt intuitivt rent konceptuellt. Om den ena händelsen är t.ex. "vi kastar en tärning och får 2, 4 eller 6" och den andra är "vi kastar än tärning och får ett jämnt tal" så är händelserna förstås beroende eftersom de är samma händelse. Vet vi att den första hände så vet vi att den andra hände och tvärt om. Den betingade sannolikheten för den första händelsen givet den andra är alltså 1, men sannolikheten för den första händelsen betraktad i sig är bara 0,5.

Låt A vara händelsen att vi får en sjua när vi slår en vanlig sexsidig tärning och låt B vara händelsen att vi får en åtta. Uppenbarligen så är A=A och A,B är disjunkta. Är A oberoende av A? Är A oberoende av B?

JohanB skrev:

Låt A vara händelsen att vi får en sjua när vi slår en vanlig sexsidig tärning och låt B vara händelsen att vi får en åtta. Uppenbarligen så är A=A och A,B är disjunkta. Är A oberoende av A? Är A oberoende av B?

Det står ju redan i första inlägget att P>0. Men jag vill veta vad som händer annars, berätta! 😃

Russell skrev:

Jag kan passa på att tipsa om att ladda ned kursen Statistics 110: Probability med Joe Blitzstein från MIT (jag har för mig att både de filmade föreläsningarna och tentor osv finns på MITs egen hemsida). Den är inte superbasic men jag tror att du har förkunskaperna som behövs och då är den väldigt bra. Jag kom att tänka på den för att han nämner att det är många som blandar ihop just disjunkt och oberoende.

Harvard menar jag, inte MIT.