Sannolikhetsläran

Hur tycker du att man borde göra annars?

I 3/6 av fallen får man upp en blå kula i första omgången.

I 2/5 av alla dessa fall så drar man upp en blå kula även i den andra omgången.

Totalt blir det (3/6)*(2/5) av alla möjliga fall.

==========

Exempel:

Du gör själva dragningsförfarandet 600 gånger.

I 300 av dessa 600 fall (dvs 3/6) drar du en blå kula i första omgången.

I 120 av dessa 300 fall (dvs 2/5) så drar du ytterligare en blå kula i andra omgången.

Resultatet är alltså 120 gynnsamma fall av 600 möjliga fall. Sannolikheten för detta är 120/600 = 0,2. Vilket är lika med (3/6)*(2/5) = 1/5 = 0,2.

Förstår inte riktigt exemplet varför blir det 120/600? Eftersom att första drar du 300 gånger av 600 och sedan 120 av 300

Är du med på att det bara är 300 av de 600 fallen som ger en blå kula i första dragningen?

Ja

OK bra.

Är du med på att av dessa 300 fall är det bara 120 som ger en blå kula i andra dragningen?

Det följer egentligen bara av definitionen för det som vi kallar för betingad sannolikhet. Sannolikheten för en händelse $B$ givet en händelse $A$ (som inte får ha sannolikheten noll) definieras enligt:

$P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$. (Notationen $B \mid A$ betecknar att händelsen $B$ inträffar givet att händelsen $A$ har inträffat.)

Från denna definition följer att sannolikheten för att båda händelserna $B$ och $A$ inträffar ges av $P(B \cap A) = P(A)P(B \mid A)$. För att relatera till ditt exempel så kan vi betrakta $A$ som händelsen att vi drar en blå kula vid första dragningen och $B$ som händelsen att vi drar en blå kula vid andra dragningen, samt $B \mid A$ som händelsen att vi drar en blå kula vid andra dragningen givet att vi också drog en blå kula vid första dragningen.

En motivering till varför ovanstående definition är rimlig ges t.ex. i denna video: https://www.youtube.com/watch?v=bgCMjHzXTXs

Så av 600 fall tar vi 300 kulor varav en är en blå kula och sedan av dess 300 kulor tar vi efter 120 dragningar den blå kulan igen? 

Nej.

Exemplet jag drar nu är ett idealfall, men det fungerar som tankestöd:

Tänk dig att vi har 600 skålar i en lång rad där varje skål innehåller 3 blåa kulor och 3 vita kulor.

Om vi nu tar en kula ur varje skål och lägger dessa framför skålen så kommer 300 skålar att ha blåa kulor framför sig och 300 skålar att ha vita kulor framför sig.

Nu tar vi ytterligare en kula ur de 300 skålar som har en blå kula franför sig och lägger denna andra kula bredvid den första.

Om du nu räknar antalet skålar framför vilka det ligger två blåa kulor så kommer detta antal att vara 120.

Alltså så kommer det i 120 av 600 fall att ges två blåa kulor.