Sannolikhetslära. Tärning
Man kastar 6 tärningar. Önskat utfall är 2 ettor, 2 tvåor och 2 treor.
Hur stor är chansen att lyckas få önskat utfall, och hur räknar man ut det ?
Antag att du kastar tärningarna en i taget, och sedan sätter upp de på en rad efter varandra.
Då vill det till att det ligger 2 ettor, 2 tvåor och 2 treor där.
Antalet möjliga utfall är då
[antal utfall för tärning 1] * [antal utfall för tärning 2] * [antal utfall för tärning 3] * [antal utfall för tärning 4] * [antal utfall för tärning 5] * [antal utfall för tärning 6]
Antalet gynnsamma utfall är alla de där 2 ettor, 2 tvåor och 2 treor förekommer. I hur många unika ordningar (permutationer) kan man placera 2 ettor, 2 tvåor och 2 treor?
Om man kastar tärningarna samtidigt eller en i taget är inte relevant för antalet utfall, men jag förstår att det är enklare att räkna om man låtsas som om tärningarna kastas en i taget. Att beräkna chanserna för tärning ett och två är inget problem. Tärning 1 = 3/6. Tärning 2 = 9/36. Sen Med tärning 3 blir det problem, för då är man beroende av att veta vad som hänt med tärning 1 och 2. I tre fall av nio har man fått två likadana siffror, och en ytterligare tärning med samma siffra skulle bli fel. I sex fall av nio har man olika siffror på tärning ett och två. Liknande problem uppstår vid tärning 4 och 5. Tärning 6 däremot är lätt, dvs samma antal som vid tärning 5. Men hur räknar man ?
Genom att räkna antalet permutationer manuellt gissar jag på 90/46656, dvs ca 0,0019. Kan det verkligen stämma?
Och innebär det att man i snitt måste slå tärningarna ca 530 gånger för att uppnå önskat utfall ?
Man räknar ut antalet gynnsamma utfall genom att tänka sig vilka utfall som är gynnsamma. Det är alla de där det i slutändan ligger 2 ettor, 2 tvåor och 2 treor på bordet framför dig.
Att ta reda på hur många utfall det blir är liktydigt med att besvara hur många unika ordningar (permutationer) som de kan ligga i, dvs. att besvara frågan:
Vi har sex stycken föremål, varav 2 visar en etta, 2 visar en tvåa och 2 visar en trea. Hur många ordningar kan vi placera dessa i?
Det visar sig att det blir 90, som du kommit fram till. Man kan beräkna detta genom att låtsas om att ettorna, tvåorna och treorna inte är identiska, varmed det finns 6! permutationer av 6 unika föremål, men sedan ta hänsyn till att vissa är identiska genom att dividera med 2!*2!*2!. Varför man dividerar med 2! tre gånger brukar vara lite svårt att förstå så låt oss titta på en permutation som exempel:
En permutation av de 6! om vi säger att alla föremål är unika är:
[11, 12, 21, 22, 31, 32]
Sju andra permutationer som också ingår är då
[11 , 12 , 21 , 22 , 32 , 31 ]
[11 , 12 , 22 , 21 , 31 , 32 ]
[11 , 12 , 22 , 21 , 32 , 31 ]
[12 , 11 , 21 , 22 , 31 , 32 ]
[12 , 11 , 21 , 22 , 32 , 31 ]
[12 , 11 , 22 , 21 , 31 , 32 ]
[12 , 11 , 22 , 21 , 32 , 31 ]
Alla dessa räknas som unika bland de 6! permutationerna, men de borde räknas som endast en permutation, och det vi gjort för att få de andra är att byta plats på ettor, tvåor respektive treor, vilket vi kan göra på 2!*2!*2! vis, så vi har räknat med 2!*2!*2! gånger så många permutationer än vad vi borde göra, så lösningen blir 6!/(2!*2!*2!) dvs. 90.
Trevligt att jag kunde ”fuska” fram rätt svar, dvs 90.
Och tack så mycket för att du verifierade på matematiskt sätt.
Jag har redan lagt alldeles för många timmar på problemet, som faktiskt har en verklig bakgrund. På en lokal bar låter ägaren gäster slå sex tärningar för en Euro. Max en gång per gäst och dygn. Alla insatser går till en pott, som tas hem av den som först slår fram rätt utfall, minus en viss procent som bildar en ny pott. Jag har alltid tyckt att det går för fort till vinst, och ville räkna ut genomsnittligt antal försök innan vinst. Nåt är skumt för potterna är för små jämfört med det vi räknat ut.
Användarnamn58 skrev:Trevligt att jag kunde ”fuska” fram rätt svar, dvs 90.
Är det något som jag lärt mig vad gäller diskret matematik så är det att det ofta finns många möjliga vägar fram till målet.
