Sannolikhetslära

"För händelserna $A$ och $B$ gäller $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 5$ och $P (A \cap B^{c}) = 0, 2$ . Bestäm $P ((A \cup B)^{c})$ ."

Småfrågor:

Sannolikheter som $P (A \cap B^{c})$ kan skrivas som $P (A B^{c})$ , eller?

På sidan står det egentligen med punkter istället för kommatecken ( $P (A) = 0.3$ )) men det kan väl inte stämma? Det är väl i USA man skriver så. Kanske att den kommer därifrån?

Min lösning:

$P ((A \cup B)^{c}) = 1 - P (A \cup B) = 1 - P (A) - P (B) + P (A \cap B) (P (A \cap B) = P (B) - P (A^{c} \cap B)) = 1 - P (A) - P (B) + P (B) - P (A^{c} \cap B) = 1 - P (A) - P (A^{c} \cap B) = 1 - 0, 3 - 0, 2 = 0, 5$

Stämmer detta?

Har du ritat ett Venn-diagram? Det är i alla fall så jag skulle börja på den här uppgiften.

Om jag ska rita ett Venn-diagram, hur börjar jag då? Ska jag direkt markera $P ((A \cup B)^{c})$ ?

Det gula är $P (A \cup B)$ och komplementet P( $(A U B)^{*}$ ) är då det röda det vill säga allt som varken ingår i A eller B. Vi kan ta hjälp av att hela boxen är lika med 1 och sen räkna väck P(A) och P(B) men intersektionen har räknas bort två gånger och måste läggas tillbaka men den har vi ej fått värdet på.

Du har dock också informationen om $P (A \cap B *)$ =0,2 som är allt som ingår i A men inte i B alltså följande område:

Eftersom du vet P(A) så kan du få ut $P (A \cap B)$ genom att subtrahera det ovan nämnda $P (A \cap B *)$ från P(A) eftersom dessa tillsammans utgör hela cirkeln P(A)

Nu kan du börja använda dig av dessa samband som du redan ställt upp, för då bör du känna till alla sannolikheter vi behöver

$P ((A U B)^{*}) = 1 - P (A U B) = 1 - (P (A) + P (B) - P (A \cap B))$

Man kan såklart skriva om allt med formler men när man har max 2-3 delmängder så lönar det sig ofta bättre att ställa upp med venndiagram för att kunna hålla allt isär och inte behöva memorera alla formler som faktiskt är ganska naturliga när man ser dem i diagrammet

Tack till er båda! Mycket bra illustrerat, Jonto!

Varsågod, tack!

Svara

Visa senaste svar