Sannolikhetsfördelning - "Bestäm varans pris"

Välkommen till Pluggakuten!

Du har $n$ stycken personer som var och en lämnar sitt bud på auktionen. Person nummer $k$ lämnar budet $B_k$ kronor. Texten säger att detta bud är en slumpvariabel som är likformigt fördelad på intervallet $[0,100]$ kronor.

Det högsta budet vinner auktionen och blir därmed det pris $P_n$ som varan får. Det högsta budet bland $n$ stycken personer är lika med slumpvariabeln

    $P_n = \max(B_1, B_2, \ldots, B_n).$

Du vill bestämma fördelningsfunktionen för varans pris, vilket är sannolikheten

    $\mathbb{P}(P_n \leq x).$

För att bestämma denna funktion behöver du anta att enskilda bud $B_k$ är oberoende av övriga bud. Då kan du faktorisera den intressanta sannolikheten i $n$ stycken faktorer.

    $\mathbb{P}(P_n \leq x) = \prod_{k=1}^{n}\mathbb{P}(B_k \leq x).$

Du har all information tillgänglig för att fortsätta beräkningen.

När du är intresserad av största värdet, som här, kan man tänka att sannolikheten att ett x är störst är samma som att alla andra är mindre.

Din fördelningsfunktion här är x/100, och sannolikheten att alla n är mindre än x blir då (x/100)^n. Det blir den nya fördelningsfunktionen. Sen är jag lite osäker på vad de vill ha för svar, men det är bara att derivera om du vill ha täthetsfunktionen istället.

@Albiki & @Micimacko tack för era svar, uppskattas, ibland behöver man bara en knuff i rätt riktning så man vet vilket håll man ska springa åt. Jag ska sätta mig ner och försöka räkna på det, hoppas jag löser det! 

Det känns tveksamt att  jag gör rätt här...

Om man utgår ifrån att alla budgivare lägger sitt maxbud, WTP, ska då sannolikheten för prisfördelningen landa på "100", alltså 1, för alla alternativen? Om man utgår ifrån formeln för fördelningsfunktionen blir det (100/100)ⁿ; sen känns det som att det spårar ur redan innan jag deriverar för att få täthetsfunktionen.

Citerar uppgiften för kontext: "Antag vidare att de personer som deltar i en auktion där man har möjlighet att ge endast ett bud, ger sitt WTP som bud."

När jag jämför med andra exempel så ligger alltid, motsvarande WTP/maxvärdet, någonstans som är mindre än max för intervallet. I nedanstående exempel har en godtycklig siffra 6 valts som övre gräns, och gör jag motsvarande med 100 för alla n tycker jag att jag får konstiga svar. Ska jag alltså inte använda 100 - är givetvis min närmsta fråga?

Jag tolkar säkert formlerna fel, och det är väl det som gör att jag inte kan implementera dem. Ber ödmjukast om ytterligare en förklaring på en "dummare" nivå, så kanske det klickar. Tack igen!

Formler för referens:

Hej,

Varje person har sin speciella ”smärtgräns” WTP som inte är samma för alla personer; det är därför som du modellerar smärtgränsen som en slumpvariabel som antar värden någonstans mellan 0 och 10 kronor i ditt senaste inlägg.

Säg att du har n=3 personer med följande smärtgränser:

• Person nummer 1 har smärtgränsen 7.5 kronor och
• person nummer 2 har smärtgränsen 8 kronor samt
• person nummer 3 har smärtgränsen 6.3 kronor.

De tre smärtgränserna är observationer från den likformiga sannolikhetsfördelningen på intervallet [0,10]. Du ser att i detta fall är max(7.5, 8, 6.3) = 8 vilket blir varans pris vid auktionen. 

Tack igen för att du tar dig tiden, uppskattas!

Jag förstår absolut ditt senaste resonemang, vilket känns som en rimlig tolkning. Däremot så tror jag inte att jag förstår vad jag ska stoppa in i formeln för att den ska generera den här fördelningen är min reflektion.

Om jag ska få ett värde P(Pn<x) där Pn=1 till Pn=5 och x=100, då resulterar det i att jag stoppar in 100 i funktionen för alla n; (x/100)^n. Och om jag sedan deriverar för täthetsfunktionen så känner jag mig tveksam till det jag får fram.

Jag tror jag har missförstått vilka variabler som ska in vart i formeln. Hur ska jag tänka där?

Tack ännu en gång!

Hej,

Prisets fördelningsfunktion är 

    $F_n(x) = \mathbb{P}(P_n\leq x) = \prod_{k=1}^{n} \frac{x-0}{100-0} = (\frac{x}{100})^n.$

Prisets täthetsfunktion blir därför derivatan

    $f_n(x)=\frac{n}{100^n}\cdot x^{n-1} \ , \quad x\in (0,100).$

Tack! 

Nu blev det väldigt tydligt i alla fall!
Eftersom min matematiska bakgrund är aningen bristfällig så behöver jag se formlerna användas för att förstå när man ska göra vad och hur, och hur de hänger ihop.