Sannolikhetsfördelning

Nä, värdet 1800 är inget medianvärde och inget medelvärde heller.
a) Rita linjen f(x) och integrera sedan för att få arean under f(x) som då ska bli ett (1).
b) Integrera mellan 4 och 10 minuter
c) Integrera mellan 0 och k minuter

Jag tror du rört ihop detta med normalfördelningen. När du använder en normalfördelningen så är uttrycket $\frac{x-\mu }{\sigma }$ relevant, där $\mu$ är väntevärdet och $\sigma$ är standardavvikelsen. Detta använder man för att få en normalfördelad slumpvariabel till att bli en normalfördelad slumpvariabel med väntevärde 0 och standardavvikelse 1.

Men det är inte från detta som $\frac{60 - x}{1800}$ kommer ifrån, utan nu är detta täthetsfunktionen för slumpvariabeln och du kan inte tolka 60 och 1800 som väntevärde och standardavvikelse. Utan det gäller att

$P(X\hspace{0.17em}\le t)\hspace{0.17em}= {\int }_0^t\frac{60 - x}{1800}dx$

då t är mindre än 60.

Stokastisk skrev :

Jag tror du rört ihop detta med normalfördelningen. När du använder en normalfördelningen så är uttrycket $\frac{x-\mu }{\sigma }$ relevant, där $\mu$ är väntevärdet och $\sigma$ är standardavvikelsen. Detta använder man för att få en normalfördelad slumpvariabel till att bli en normalfördelad slumpvariabel med väntevärde 0 och standardavvikelse 1.

Men det är inte från detta som $\frac{x - 60}{1800}$ kommer ifrån, utan nu är detta täthetsfunktionen för slumpvariabeln och du kan inte tolka 60 och 1800 som väntevärde och standardavvikelse. Utan det gäller att

$P(X\hspace{0.17em}\le t)\hspace{0.17em}= {\int }_0^t\frac{x - 60}{1800}dx$

då t är mindre än 60.

Det ska väl vara 60-x? Täthetsfunktionen kan ju inte vara negativ.

Ojdå, ja det har du rätt i, jag redigerade inlägget.

Jag tror du rört ihop detta med normalfördelningen. När du använder en normalfördelningen så är uttrycket x−μσ relevant, där μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen.

... Ni menar det var inte samma sak?

...???...

...????

Hur kan jag skilja normalfördelning och täthetsfunktion? Varför ser dom likadant ut?

Alla sannolikhetsfördelningar har väntevärdet och standardavvikelse. Alla sannolikhetsfördelningar har en täthetsfunktion. 

Normalfördelning är en typ av sannolikhetsfördelning, men inte den enda. 

Andra vanligt förekommande sannolikhetsfördelningar är poissonfördelning, binomialfördelning, exponentialfördelning, etc. 

Täthetsfunktionen för normalfördelningen är

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x - \mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

Medan täthetsfunktionen för den fördelningen du har nu är

$\frac{60 - x}{1800}$

Så det är ganska stor skillnad på täthetsfunktionerna.

Däremot så är $\frac{X - \mu}{\sigma}$ användbart när vi har normalfördelningen eftersom det hjälper oss att kunna slå upp i en tabell vad sannolikheterna är. Detta är däremot inte normalfördelningens täthetsfunktion.

Tack, jag försökt att slå upp tabell i morse, det gick inte så bra!

Okej, men bara så du inte missförstod mig nu, i denna uppgift så kan du inte slå upp något i någon tabell. Eftersom det inte är en normalfördelning.

Utan på a) så ska du beräkna integralen $\int_{0}^{60} \frac{60 - x}{1800} dx$ och komma fram till att den blir 1.

Jo, jag räknade uppgiften tidigare, men det var bara den här normalfördelning/täthetsfördelning. Jag måste kolla på ett språk jag förstår bättre än svenska. Just nu ser jag att det är 2 saker som ser ut exakt lika som är inte det...

nä jag menade detta: https://www.pluggakuten.se/trad/epic-fail-sannolikhets-fordelning/

Hej Daja!

Anledningen till att man är intresserad av kvoten

    $\frac{X-\mu}{\sigma}$

är att varje normalfördelning $\text{N}(\mu,\sigma^2)$ kan uttryckas med hjälp av den standardiserade normalfördelningen $\text{N}(0,1)$ enligt följande: Om slumpvariabeln $Z$ är normalfördelad $\text{N}(0,1)$ och slumpvariabeln $X$ är normalfördelad $\text{N}(\mu,\sigma^2)$ så gäller sambandet

    $\displaystyle X = \mu + \sigma Z.$

Varje frågeställning om slumpvariabeln $X$ motsvaras av en frågeställning om slumpvariabeln $Z$. Poängen med detta är att det räcker att känna till sannolikhetsfördelningen för $Z$ för att kunna arbeta med sannolikhetsfördelningen för $X$. Till exempel: Vad är sannolikheten att slumpvariabeln $X$ är mer än två standardavvikelser ($\sigma$) från sitt medelvärde ($\mu$)? Med andra ord, vad är sannolikheten

    $\displaystyle \text{Prob}(|X-\mu| > 2\sigma)$?

Detta är samma sak som sannolikheten

    $\displaystyle 1-\text{Prob}(-2\sigma \leq X - \mu \leq 2\sigma).$

Notera att

    $\displaystyle \text{Prob}(-2\sigma \leq X-\mu \leq 2\sigma) = \text{Prob}(-2\leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq 2) =$

    $\displaystyle = \text{Prob}(-2 \leq Z \leq 2) = \text{Prob}(Z\leq 2) - \text{Prob}(Z \leq -2)$

och med hjälp av tabellvärden för fördelningsfunktionen

    $\Phi(z) = \text{Prob}(Z \leq z)$

för slumpvariabeln $Z$ kan frågan om slumpvariabeln $X$ besvaras:

    $\displaystyle \text{Prob}(|X-\mu| > 2\sigma) = 1-(\Phi(2)-\Phi(-2)).$

Albiki

Tack igen för förklaring!

Jag förstår lite bättre hur det hänger ihopp.

Kan vi ta en exempel och gå igenom det?