Sannolikhetsfördelning

När du är inne på den där sidan, tryck på blocknyckeln och sedan skriver du in gränserna för x så att du får $600 \le x \le 800$ och på y skriver du in gränserna så du får $0 \le y \le 0.01$, då bör du se grafen.

Daja skrev :

Så jag tänkte rita en normalfördelning täthetsfunktion (med standard avvikelse 50 och medelvärde 700) och klippa bort 10% på den vänster sida.

Rätt tänkt. Hur många standardavvikelser från medelvärdet behöver du gå för att klippa bort 10% på vänstra sidan?

.... Så jag måste behålla 700-70, och jag kan klippa 50-bitar.. 

Dvs att det blir i kategorin 14% mellan, 600 och 650.

Jag tänkte integrera från 100% baklänges tills jag når den värde som ger 90% :)

Men det finns säkert nåt bättre sätt!?

Jag vet inte riktigt hur mycket sannolikhetsteori man läser i gymnasiet men sättet att lösa det på är att notera att om $X ~ N(700, \sigma =50)$. Så det du ska beräkna nu är det x så att

$P(X \le x)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0.1$

För att beräkna detta så använder man att

$P(X\hspace{0.17em}\le x)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}P\left(\frac{X\hspace{0.17em}- 700}{50}\le \frac{x - 700}{50}\right)$

Nu är $\frac{X - 700}{50}$ standard normalfördelat så man kan slå i en tabell (eller liknande) och hitta att vi måste ha att 

$\frac{x - 700}{50}=-1.28$

Löser man denna ekvation så får man att

$x =\hspace{0.17em}700 - 1.28*50 =\hspace{0.17em}636$

Så om man sätter gränsen till 636 så kommer som mest 10% av batterierna ligga under denna gräns.

Som Stokastisk säger brukar man inte beräkna integralen själv, utan slå i tabell:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Lista_%C3%B6ver_den_kumulativa_normalf%C3%B6rdelningsfunktionen

Som du ser hittar du att integralen upp till 1.28 standardavvikelser blir 0.90. För att spara plats har man bara skrivit ut halva funktionen - den är ju symmetrisk.

Stokastisk skrev :

När du är inne på den där sidan, tryck på blocknyckeln och sedan skriver du in gränserna för x så att du får $600 \le x \le 800$ och på y skriver du in gränserna så du får $0 \le y \le 0.01$, då bör du se grafen.

Tack för hjälpen! Är det alltid y mellan 0 och 0.01? Hur kan jag göra för att se min intervall? Jag skrivit integralen, har gjort 2 sliders men ingen area visas.

https://www.desmos.com/calculator/k8qgx1tfsh

Bubo skrev :

Som Stokastisk säger brukar man inte beräkna integralen själv, utan slå i tabell:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Lista_%C3%B6ver_den_kumulativa_normalf%C3%B6rdelningsfunktionen

Som du ser hittar du att integralen upp till 1.28 standardavvikelser blir 0.90. För att spara plats har man bara skrivit ut halva funktionen - den är ju symmetrisk.

Tack Bubo och Stokastisk, det har jag aldrig sett.

Nu har jag kollat i faciten:

Förstår inte riktigt hur man kan göra det, om jag slår fnInt(funktion, x, 0, a)-0,10= 0 kan jag inte skriva x istället för a, fast det är x jag leter efter, eftersom x här står för with respect to x :/.

Och lösa manuelt med olika a låter som mycket gissningar.... Och det kan inte vara det dom vill att vi gör?

Nej, använd tabellen:

Rita upp normalfördelningen, och dela den totala arean under kurvan så att du får arean 0.10 till vänster. Då får du arean 0.90 till höger.

Spegelvänd det där. Nu har du arean 0.90 till vänster och 0.10 till höger. Men var är gränsen, var är a?

Tabellen jag länkade till säger att för a= 1.28 (näst sista kolumnen för 1.2) får vi arean 0,89973.

Vårt a är alltså 1.28 standardavvikelser från medelvärdet.

...och i vår uppgift här gäller det att värdet skall vara 1.28 standardavvikelser mindre än medelvärdet.

 Ok.

Och om jag förstår rätt, man nu vill ha tvärtom, dvs att 90% av batterier levererar en antal timmar, måste vi också ta 1,28 (för den är symmetriska, att vi har spegelvänt och att det spelar ingen roll om vi klippar 10% till höger eller till vänster :)

Däremot måste jag skriva x =700 + 1.28*50 =764.

Om du beräknar 700 + 1.28*50 så betyder det att du får 90 % som hamnar under denna gräns. Men du vill ju ha att det bara ska vara 10% som ligger under gränsen, så därför ska du räkna 700 - 1.28*50 istället.

Ah jo, men jag menar om jag har nu frågan där 90% måste vara under, (typ vi bygger ett dörr och 90% av personner måste kunna gå utan böja sig). Så jag antar att det stämmer :)

Hej!

Låt slumpvariabeln $N$ beteckna antalet gånger som batteriet laddas upp; denna slumpvariabler antar positiva heltalsvärden $1,2,3,...$ . Varje uppladdning räcker till 10 timmars drift. Batteriets totala drifttid ($T$) är därför $T = 10\cdot N$ timmar; denna slumpvariabel antar positiva heltalsvärden $10, 20, 30, ...$ . Det är därför fel att modellera den totala drifttiden med en normalfördelning. Det enda du vet om den totala drifttidens sannolikhetsfördelning är att den har väntevärdet $\mathbf{E}(T) = 10 \cdot 700 = 7000$ timmar och standardavvikelsen $\sqrt{\text{Var}(T)} = 50 \cdot \sqrt{10}$ timmar. Det gäller att använda ett verktyg som är giltigt för godtyckliga sannolikhetsfördelningar (som har ändliga varianser): Chebychevs olikhet.

Låt $k$ vara ett godtyckligt positivt tal. Enligt Chebychevs olikhet gäller det att sannolikheten att batteriets totala drifttid avviker från väntevärdet med mer än $k$ standardavvikelser är uppåt begränsad enligt

    $\displaystyle \mathbf{P}(|T - \mathbf{E}(T)|> k\sqrt{Var(T)}) \leq \frac{1}{k^2}.$

Du vill att $\frac{1}{k^2} = 0.20$, vilket betyder att $k = \sqrt{20}$. Det följer att

    $\displaystyle \mathbf{P}(T > \mathbf{E}(T) - \sqrt{20}\sqrt{Var(T)}) \leq 0.10$

vilket visar att den totala drifttiden som man kan garantera enligt angiven specifikation är

    $\displaystyle \mathbf{E}(T) - \sqrt{20}\sqrt{Var(T)} = 7000 - \sqrt{20} \cdot 50 \sqrt{10} = 6292$ timmar.

Albiki

Kyyyya! Jag gillar men jag fattar in-gen-ting!

På gymnasienivå är det säkert meningen att man skall approximera det med en normalfördelning. Albikis förklaring är förmodligen mer korrekt, men på högskolenivå.

Hej Smaragdalena!

Att döma av texten i facit vill de använda normalfördelning. Men bokens författare förvirrar studenterna att tro att allt kan approximeras med en normalfördelning. Läsarna ges inte tillfälle att reflektera över vad det egentligen betyder att något är normalfördelat. Mitt inlägg försöker att råda bot på det.

Jag vill att man ska tänka till litet innan man mekaniskt börjar använda sig av de verktyg man har i sin verktygslåda; exempelvis att använda kvadratkomplettering istället för derivering när man söker optimum hos andragradsuttryck. "Har jag valt rätt verktyg för uppgiften?" "Finns det andra verktyg? "

Albiki

Hej Daja!

Vad gör du när du inte fattar nå-gon-ting? Ger du upp, eller vill du veta mer?

Albiki

Hej Albiki! På universitetsnivå har du alldeles rätt, men om man inte har tillgång till alla tänkbara verktyg får man oftast ett hyfsat resultat genom att använda det man har tillgång till. Om man behöver smälla en fluga och inte har någon flygsmälla, kan man använda en hoprullad tidning.

Det är ingen fara för min del, det är klart att jag vill veta mer. Jag blev väldigt imponerad av den andra problem som du löste (med 4x^2sin^2x osv osv) som du analyserade som 2+2*2*3. Det bara tar tid att återkomma för jag måste hinna med alla kurser och måste oftast kolla förklaringen på franska för att hänga med.

Det verkar att Chebychevs teknik är enklare, det är bara att fatta vad är P, vad är T, vad är E, vad är k... iaf vet jag att $\left|\right|$ är absolut belopp.

Samtidigt som jag tycker att Smaragdalena är också rätt, för man måste väl kunna använda sina tillgängliga verktyg!

Daja skrev :

Det är ingen fara för min del, det är klart att jag vill veta mer. Jag blev väldigt imponerad av den andra problem som du löste (med 4x^2sin^2x osv osv) som du analyserade som 2+2*2*3. Det bara tar tid att återkomma för jag måste hinna med alla kurser och måste oftast kolla förklaringen på franska för att hänga med.

Det verkar att Chebychevs teknik är enklare, det är bara att fatta vad är P, vad är T, vad är E, vad är k... iaf vet jag att $\left|\right|$ är absolut belopp.

Samtidigt som jag tycker att Smaragdalena är också rätt, för man måste väl kunna använda sina tillgängliga verktyg!

Jag tror faktiskt inte du behöver sätta in dig i allt det där just nu. Men generellt sätt så kan man inte bara anta att något är normalfördelat så som boken har gjort, det finns ingen bra motivering till att göra det antagandet. Så själva frågan är lite underlig, dom borde nämnt att antalet laddningar kan antas vara approximativt normalfördelat.

Albiki har gjort några slarvfel i sin lösning. Det gäller att $\sqrt{Var\left(T\right)}=50·10 =\hspace{0.17em}500$ samt att $\frac{1}{k^2}=0.2$ innebär att $k =\hspace{0.17em}\sqrt{5}$ (sen är en olikhet vid andra P:et vänd åt fel håll). Rättar man till detta så får man att gränsen är 5882. Man gör också antagandet att fördelningen är symmetrisk i lösningen.

Så som du ser så får man en lägre gräns när man löst det med Chebychevs olikhet, anledningen till det är att det kommer gälla oavsett vilken (symmetrisk) fördelning som antalet laddningar kan tänkas ha, inte bara normalfördelningen. 

För övrigt tycker jag det verkar orealistiskt med ett batteri som forstätter att ha samma kapacitet så många gånger. Min gamla telefon äter batterier på ett sätt som den inte gjorde som ny! Så att räkna med normalfördelning tycker jag verkar vara en ganska liten approximation jämfört med detta.

Det är per sig sant ... Ok, jag stänger tråden så länge, det så är mycket andra frågor kvar...

Nej jag glömde en jätteviktigt fråga om sannolikhetsfördelning, ska öppna en ny tråd...