Sannolikheten för en kåk

Du minns rätt kring vad kåk är. efter floppen kommer det läggas fram två kort till (jag är också usel på pokerlingo, men de heter säkert nåt coolt de med). På vilka sätt kan du då få kåk? Vilka trissar är möjliga? Vilka par?

Jag kan väl antingen få kåk då genom att antingen få två nior, två damer, två kungar eller ett ess och någon av de tre valörerna. Stämmer detta?

Exakt! Vad är sannolikheten för var och en av dem? Eftersom de inte kan hända samtidigt kan du sen bara lägga ihop sannolikheterna.

Det är just detta som jag har problem med, jag vet inte riktigt hur man skall tänka här, under hela mitt liv när jag har räknat sannolikhet har jag räknat med division av endast tal, men nu vill läraren att vi ska använda det "nya" sättet vi har lärt oss som är till exempel: $\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right) eller \left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)$. Och jag förstår verkligen inte det här med "över och under", jag tycker bara det gör allting svårare. Det enda jag möjligtvis kan gissa mig fram till är att nämnaren möjligtvis skall vara $\left(\begin{array}{c}47\\ 2\end{array}\right)$ då du redan har två ess och det redan på bordet finns tre kort  så  borde det vara 52-2-3=47 kort kvar och av de korten ska ytterligare två läggas  ut. Mer än detta vet jag inte hur jag skall tänka.

Behöver fortfarande hjälp

Det stämmer att de återstående två korten kan väljas på  $\binom{47}{2}=1081$ olika sätt.

Det som återstår nu är att räkna samman de kombinationer som ger kåk. Jag ger dig två exempel så kanske du kan komma vidare själv.

Det finns 3 st 9:or kvar i leken.  Antalet möjliga sätt (ordningen spelar inte någon roll) de två återstående korten bilda 99 är $\binom{3}{2}=3$

En annan grupp kombinationer är A9 (eller 9A, ordningen spelar ingen roll). Det finns 2 ess och 3 nior kvar. Tillsammans kan de kombineras på 6 sätt.

Kan du hitta resten av kombinationerna själv?

Nu hänger jag inte riktigt med tyvärr, men jag har funderat lite själv och jag vet om att det kan bli en kåk av många olika kombinationer. Jag funderar och undrar om jag har tänkt rätt över följande svar, att om man nu tar ett ess och ett kort av de andra tre valörerna (alltså kung dam eller nio). Är sannolikheten då:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}47\\ 2\end{array}\right)$.

Längre än så här kommer jag tyvärr inte :(

Ja, det är korrekt, nu är du nästan klar.

Du har räknat ut sannolikheten att få en kåk med 3 ess och ett par. Det har du gjort genom att räkna ut antalet kombinationer som ger en sådan kåk delat med det totala antalet möjliga kombinationer:

$\frac{\binom{2}{1}\binom{9}{1}}{\binom{47}{2}}=\frac{18}{1081}$

Det kanske underlättar för dig om du tänker att det står (av 2 ess välj ett) *(av 9 kvarvarande möjliga kort som ger kåk, välj 1) / delat med det totala antalet kombinationer (av 47 välj 2).

Men det återstår fortfarande några kombinationer. De två sista korten kan också vara 99, QQ eller KK.

Antalet kombinationer med 99 har jag redan visat; av 3  9:or välj 2 , dvs $\binom{3}{2}=3$. KK och QQ blir på samma sätt (3+3+3).

Vill du krångla till det kan du tänka att du av 3 möjliga grupper (99,QQ,KK) ska välja 1 (3 välj 1), varje grupp innehåller(3 välj 2) kombinationer.

Slutligen är den totala sannolikheten att bilda kåk summan av antalet utfall (dvs kombinationer) som ger kåk, delat med det totala antalet möjliga utfall.

Så sannolikheten att få kåk på ett annat sätt med 2 ess och 3 andra kort blir då (3 över 1) * (3 över 2) / (47 över 2)? Eller förstår jag fel?

Nej, det är helt rätt. I det här fallet kanske $3\choose 1$ känns överflödigt, jag hade nöjt mig med att skriva $3\frac{3\choose 2}{{47}\choose 2}$, men svaret blir detsamma. Och så då $\frac{{2\choose1}{9\choose1}}{{47}\choose 2}$ för AAAXX.