Sannolikheten att få blå kula
Hej!
Uppgiften lyder:
Mitt försök är:
Det jag har gjort är:
Skål 1, P(blå) = 1/6
Skål 2 så är P(blå) = (1/6)*(2/7) + (1/7) = 4/21
Skål 3 bli då P(blå) = (4/21)*(2/7) + (1/7) = 29/147
Varför är det fel?
I skål 2 kan det finnas 1 eller 2 blå kulor. Vad är sannolikheten för att det finns 1 respektive 2 blå kulor där?
Kombinatorik skrev :Hej!
Uppgiften lyder:
Skål 1, P(blå) = 1/6
Skål 2 så är P(blå) = (1/6)*(2/7) + (1/7) = 4/21
Skål 3 bli då P(blå) = (4/21)*(2/7) + (1/7) = 29/147
Varför är det fel?
Kan du berätta hur du har tänkt?
Du verkar inte ha räknat med sannolikheten att den första kulan du flyttar inte är blå.
Du kan rita ett träddiagram för att få med alla möjligheter.
Yngve skrev :Kombinatorik skrev :Hej!
Uppgiften lyder:
Skål 1, P(blå) = 1/6
Skål 2 så är P(blå) = (1/6)*(2/7) + (1/7) = 4/21
Skål 3 bli då P(blå) = (4/21)*(2/7) + (1/7) = 29/147
Varför är det fel?
Kan du berätta hur du har tänkt?
Du verkar inte ha räknat med sannolikheten att den första kulan du flyttar inte är blå.
Du kan rita ett träddiagram för att få med alla möjligheter.
Såhär har jag tänkt:
Om man får med sig en blå kula från skål 1 (1/6 sannolikhet) blir sannolikheten att få en blå kula från skål 2 2/7 alltså (1/6)*(2/7). Om man istället hade fått med sig en svart kula från skål 1 blir sannolikheten att få en blå kula i skål 2 1/7. Jag tolkar att man antingen får en blå kula eller en svart kula från skål 1 därav ska man använda additionsprincipen och få:
Den totala sannolikheten att få en blå kula från skål 2 = (1/6)*(2/7) + (1/7)
På samma sätt tänker jag med skål 3
Kombinatorik skrev :Yngve skrev :Kombinatorik skrev :Hej!
Uppgiften lyder:
Skål 1, P(blå) = 1/6
Skål 2 så är P(blå) = (1/6)*(2/7) + (1/7) = 4/21
Skål 3 bli då P(blå) = (4/21)*(2/7) + (1/7) = 29/147
Varför är det fel?
Kan du berätta hur du har tänkt?
Du verkar inte ha räknat med sannolikheten att den första kulan du flyttar inte är blå.
Du kan rita ett träddiagram för att få med alla möjligheter.
Såhär har jag tänkt:
Om man får med sig en blå kula från skål 1 (1/6 sannolikhet) blir sannolikheten att få en blå kula från skål 2 2/7 alltså (1/6)*(2/7). Om man istället hade fått med sig en svart kula från skål 1 blir sannolikheten att få en blå kula i skål 2 1/7. Jag tolkar att man antingen får en blå kula eller en svart kula från skål 1 därav ska man använda additionsprincipen och få:
Den totala sannolikheten att få en blå kula från skål 2 = (1/6)*(2/7) + (1/7)
På samma sätt tänker jag med skål 3
Ja du tänker rätt men du glömmer att du när du räknar sannolikheten att dra en blå kula från andra skålen måste multiplicera andra termen med sannolikheten (5/6) att du drog en svart kula från första skålen. Det är ju bara i 5/6 av fallen som du drog en svart kula från första skålen.
Så det ska bli:
Den totala sannolikheten att få en blå kula från skål 2 = (1/6)*(2/7) + (5/6)*(1/7)
Fortsätt sedan på samma sätt (eller rita upp ett träddiagram)
Sorry, strulade med paddan :-)
Det känns inte rätt att multiplicera med (5/6) med (1/7) eftersom (5/6) är sannolikheten att få en svart kula från skål 1 medan (1/7) är sannolikheten att få en blå kula från skål 2 ...
Kombinatorik skrev :Sorry, strulade med paddan :-)
Det känns inte rätt att multiplicera med (5/6) med (1/7) eftersom (5/6) är sannolikheten att få en svart kula från skål 1 medan (1/7) är sannolikheten att få en blå kula från skål 2 ...
Men du multiplicerar ju 2/7 med 1/6 i första termen, det är isåfall lika konstigt det.
Du kan tänka så här:
I 1/6 av fallen har du utgångsläget 2B + 5S i skål två. Sannolikheten att du då ska dra en B är (1/6)* (2/7)
I 5/6 av fallen har du utgångsläget 1B + 6S i skål två. Sannolikheten att du då ska dra en B är (5/6)* (1/7)
Dvs (sannolikheten att jag har just denna utgångssituation)*(sannolikheten att jag drar en blå kula ur skål 2)
Jag håller med om att ett träddiagram är bästa sättet. Börja från skål 1. Då har du två möjligheter - en blå eller inte en blå. Då får du två varianter av skål 2. Sedan grenar det sig igen till skål 3.
... och om du inte multiplicerar med 5/6 så kommer du, om du har tillräckligt många skålar, att få en sannolikhet som är större än 1 att dra en blå kula ur sista skålen. Det tycker jag inte känns rätt :-)
Känner du till hur man ritar ett träddiagram?
Om du ritar ett sånt så kanske det känns mer självklart hur du ska räkna ut sannolikheterna.
Men när jag använde (1/6)*(2/7) så tolkar jag det som:
Sannolikheten att få en blå kula ur skål 1 och en blå kula ur skål 2.
Medan (5/6)*(1/7) tolkar jag det som:
Sannolikheten att få en svart kula ur skål 1 och en blå kula ur skål 2.
Jag tänker att det borde bara vara okej att multiplicera sannolikheterna av blåa kulor
Kombinatorik skrev :Men när jag använde (1/6)*(2/7) så tolkar jag det som:
Sannolikheten att få en blå kula ur skål 1 och en blå kula ur skål 2.
Medan (5/6)*(1/7) tolkar jag det som:
Sannolikheten att få en svart kula ur skål 1 och en blå kula ur skål 2.
Ja det stämmer.
Och hur tolkar du då det som du skrev först, nämligen (1/1)*(1/7)?
Sannolikheten att,få någon kula ur skål 1 och en blå kula ur skål 2?
Yngve skrev :Kombinatorik skrev :Men när jag använde (1/6)*(2/7) så tolkar jag det som:
Sannolikheten att få en blå kula ur skål 1 och en blå kula ur skål 2.
Medan (5/6)*(1/7) tolkar jag det som:
Sannolikheten att få en svart kula ur skål 1 och en blå kula ur skål 2.
Ja det stämmer.
Och hur tolkar du då det som du skrev först, nämligen (1/1)*(1/7)?
Sannolikheten att,få någon kula ur skål 1 och en blå kula ur skål 2?
För termen (1/7) tänker jag att den blir aktiv i skål 2 (det "existerade" ingen skål 1, i alla fall inte något man ska ta hänsyn till eftersom man fick en svart kula och vi ska beräkna sannolikheten att få en blå kula)
Kombinatorik skrev :För termen (1/7) tänker jag att den blir aktiv i skål 2 (det "existerade" ingen skål 1, i alla fall inte något man ska ta hänsyn till eftersom man fick en svart kula och vi ska beräkna sannolikheten att få en blå kula)
Följ med mig på ett litet förenklingsexperiment som visar att du har fått det hela om bakfoten.
.
Vi säger att vi istället endast har två skålar (skål 1 och 2), var och en med endast en svart och en blå kula i.
Du ska göra på samma sätt som tidigare men du ska både beräkna sannolikheten att du drar en blå kula från skål 2 och sannolikheten att du drar en svart kula från skål 2 och sedan jämföra dem.
Ta en kula från skål 1 och lägg i skål 2.
Sannolikheten att du tar en blå kula från skål 1 är 1/2. Då ligger det en svart och två blå kulor i skål 2
Sannolikheten att du sedan drar en blå kula från skål 2 är 2/3.
Sannolikheten att du istället drar en svart kula från skål 2 är 1/3.
Sannolikheten att du tar en svart kula från skål 1 är 1/2. Då ligger det två svarta och en blå kula i skål 2.
Sannolikheten att du sedan drar en blå kula från skål 2 är 1/3.
Sannolikheten att du istället drar en svart kula från skål 2 är 2/3.
Om vi på ditt sätt beräknar sannolikheten att dra en blå kula ur skål 2 får vi att det blir (slh att dra en blå ur skål 1)*(slh att då dra en blå ur 2) + (slh att dra en blå ur 2 trots att vi drog en svart ur 1) = (1/2)*(2/3) + (1/3) = 2/3.
Om vi istället på ditt sätt beräknar sannolikheten att dra en svart kula ur skål 2 får vi att det blir (slh att dra en svart ur skål 1)*(slh att då dra en svart ur 2) + (slh att dra en svart ur 2 trots att vi drog en blå ur 1) = (1/2)*(2/3) + (1/3) = 2/3.
Detta kan inte stämma. Summan av dessa sannolikheter är större än 1.
Av symmetriskäl måste båda sannolikheterna vara 1/2.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Om vi istället multiplicerar med sannolikheten för första dragningen, oavsett vilken färg kulan hade, så blir det rätt:
Sannolikheten att dra en blå kula ur skål 2 är (slh att dra en blå ur skål 1)*(slh att då dra en blå ur 2) + (slh att dra en svart ur skål 1)*(slh att då dra en blå ur 2) = (1/2)*(2/3) + (1/2)*(1/3) = 3/6 = 1/2.
Sannolikheten att dra en svart kula ur skål 2 är (slh att dra en svart ur skål 1)*(slh att då dra en svart ur 2) + (slh att dra en blå ur skål 1)*(slh att då dra en svart ur 2) = (1/2)*(2/3) + (1/2)*(1/3) = 3/6 = 1/2.
1/2 + 1/2 = 1 som det ska vara.
Men, som sagt, detta problem lämpar sig väl för att lösa med hjälp av ett träddiagram. Om du inte känner till hur man ritar ett träddiagram så leta upp det i boken.
Här är en början på ett förslag på hur det skulle kunna se ut.
Yngve skrev :Kombinatorik skrev :För termen (1/7) tänker jag att den blir aktiv i skål 2 (det "existerade" ingen skål 1, i alla fall inte något man ska ta hänsyn till eftersom man fick en svart kula och vi ska beräkna sannolikheten att få en blå kula)Följ med mig på ett litet förenklingsexperiment som visar att du har fått det hela om bakfoten.
.
Vi säger att vi istället endast har två skålar (skål 1 och 2), var och en med endast en svart och en blå kula i.
Du ska göra på samma sätt som tidigare men du ska både beräkna sannolikheten att du drar en blå kula från skål 2 och sannolikheten att du drar en svart kula från skål 2 och sedan jämföra dem.
Ta en kula från skål 1 och lägg i skål 2.
Sannolikheten att du tar en blå kula från skål 1 är 1/2. Då ligger det en svart och två blå kulor i skål 2
Sannolikheten att du sedan drar en blå kula från skål 2 är 2/3.
Sannolikheten att du istället drar en svart kula från skål 2 är 1/3.
Sannolikheten att du tar en svart kula från skål 1 är 1/2. Då ligger det två svarta och en blå kula i skål 2.
Sannolikheten att du sedan drar en blå kula från skål 2 är 1/3.
Sannolikheten att du istället drar en svart kula från skål 2 är 2/3.
Om vi på ditt sätt beräknar sannolikheten att dra en blå kula ur skål 2 får vi att det blir (slh att dra en blå ur skål 1)*(slh att då dra en blå ur 2) + (slh att dra en blå ur 2 trots att vi drog en svart ur 1) = (1/2)*(2/3) + (1/3) = 2/3.
Om vi istället på ditt sätt beräknar sannolikheten att dra en svart kula ur skål 2 får vi att det blir (slh att dra en svart ur skål 1)*(slh att då dra en svart ur 2) + (slh att dra en svart ur 2 trots att vi drog en blå ur 1) = (1/2)*(2/3) + (1/3) = 2/3.
Detta kan inte stämma. Summan av dessa sannolikheter är större än 1.
Av symmetriskäl måste båda sannolikheterna vara 1/2.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Om vi istället tar med sannolikheten för första dragningen, oavsett vilken färg kulan hade, så blir det rätt:
Sannolikheten att dra en blå kula ur skål 2 är (slh att dra en blå ur skål 1)*(slh att då dra en blå ur 2) + (slh att dra en svart ur skål 1)*(slh att då dra en blå ur 2) = (1/2)*(2/3) + (1/2)*(1/3) = 3/6 = 1/2.
Sannolikheten att dra en svart kula ur skål 2 är (slh att dra en svart ur skål 1)*(slh att då dra en svart ur 2) + (slh att dra en blå ur skål 1)*(slh att då dra en svart ur 2) = (1/2)*(2/3) + (1/2)*(1/3) = 3/6 = 1/2.
1/2 + 1/2 = 1 som det ska vara.
nu förstår jag varför mitt sätt inte fungerar, men om man använder ditt sätt får jag följande:
Skål 2 P(blå) = (1/6)*(2/7) + (5/6)*(1/7) = 1/6
Skål 3 P(blå) = (1/6)*(2/7) + (6/7)*(1/7) = 25/147
Men enligt facit så ska det bli 1/6. Varför får jag fel?
Kombinatorik skrev :
nu förstår jag varför mitt sätt inte fungerar, men om man använder ditt sätt får jag följande:
Skål 2 P(blå) = (1/6)*(2/7) + (5/6)*(1/7) = 1/6
Skål 3 P(blå) = (1/6)*(2/7) + (6/7)*(1/7) = 25/147
Men enligt facit så ska det bli 1/6. Varför får jag fel?
För det första måste varje term vara en produkt av tre sannolikheter (dragning ur tre skålar), för det andra så finns det flera möjliga kombinationer.
Med risk för att vara tjatig - har du funderat på att rita ett träddiagram?
Det finns fyra möjliga vägar fram till att dra en blå kula ur skål 3:
Ur skål (1-2-3) kan du dra:
Blå-blå-blå
Blå-svart-blå
Svart-blå-blå
Svart-svart-blå
Beräkna sannolilheten för dessa fyra vägar och summera dem så får du svaret.
