Sannolikheten att en partikel befinner sig på en viss plats

En partikel utför “slumpvandring” på heltalen. Det betyder att partikeln startar på talet 0 och sedan hoppar ett steg varje sekund, där hoppet görs i negativ respektive positiv riktning med sannolikhet 0.5. Vad är sannolikheten att partikeln efter 10 sekunder befinner sig på talet 2?

Har suttit med upg i någon timme nu och har inte direkt förstått hur jag ska ta mig väga med den.
Jag behöver någon som kan knuffa in mig i rätt spår så att jag förstår upg.

Visa spoiler

Man kan väl bilda sig ett sannolikhetsträd.

Efter 0 sekunder är det 100 % att partikeln befinner sig på talet 0.

Efter 1 sekunder är det 50 % att partikeln befinner sig på talet -1, 50 % att partikeln befinner sig på talet 1.

Efter 2 sekunder är det 25 % (0,5*0,5) att partikeln befinner sig på talet -2, 50 % (0,5*0,5 + 0,5*0,5) att partikeln befinner sig på talet 0, 25 % (0,5*0,5) att partikeln befinner sig på talet 2.

Ovanstående beskrivning är så som man uttrycker det i text men jag tror det är enklare om man bara ritar upp trädet, ser efter hur många vägar som leder ner till talet 2 efter 10 sekunder, och har i åtanke att varje väg ner har sannolikheten 0,5¹⁰. Fast nu då jag tänker rätt på det kan det vara rätt så många vägar.

Skall man sluta med netto 2 steg i positiv riktning vill det till att partikeln rör sig i positiv riktning 6 gånger, i negativ riktning 4 gånger. Av 10 stycken förflyttningar skall man alltså välja ut 6 som var i positiv riktning. Svaret borde ges av

$(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix}) * 0, 5^{10}$

Du efterfrågade att du skulle bli knuffad i rätt spår. Jag tror jag råkade ge hela svaret. Hoppas det ger något.

Denna länk är nog bra för dig att läsa:

http://www2.math.uu.se/~sea/kurser/stokprocmn1/slumpvandring.pdf

Tillägg: 2 maj 2022 13:02

Den formella behandlingen enligt Sheldon M. Ross är att partikelns position efter $t=10 \ s$ ges av:

$\displaystyle \xi = \sum_{j=1}^{10}\xi_j$

Där $\xi_j \in \{-1,1\}$ med oberoende sannolikheten $P(\xi_j)=0.5$ . Om du nu sätter $\xi = 2$ får du att du vill ta reda på hur många olika sätt det finns att ta 6 steg i positiv riktning och 4 steg i negativ riktning dividerat med totalt antal sätt att röra sig 10 steg. Ett av dessa sätt är:

$\displaystyle 2 = \sum_{j=1}^{10}\xi_j = 1-1+1-1+1-1+1-1+1+1=2$

Men att räkna allihop är inte riktigt lämpligt.

Svara