Sannolikheten att dra en röd boll från den nya högen
Uppgift: Framför dig finns en hög med 12 bollar, 4 gula och 8 gröna. Med stängda ögon drar du 5 bollar (utan återlägg) och lägger dem i en ny hög.
(a) Sedan drar du en slumpad boll från den nya högen (utan återlägg, fortfarande utan att se), vad är sannolikheten att bollen du drar är en gul boll?
(b) Du lägger tillbaka den dragna bollen (utan att veta färgen) i den första högen och drar sedan en ny slumpad boll från högen som nu har 4 bollar kvar. Vad är sannolikheten att dra en grön boll?
I boken står det för (a) att sannolikheten är 4/12 = 1/3 chans då sannolikheten att dra en boll av någon av de angivna färgerna inte ändrats.
(b) är samma motivation, med svaret 8/12 = 2/3.
Jag tänker mig att fördelningen (sannolikheten att dra en given färg) kan ändras då (vilket vi inte vet) om vi exempelvis har dragit 4 gröna bollar och 1 gul så är sannolikheten inte så stor att dra en gul ur den nya högen. Kan någon bevisa att uppdelningen inte ändrat sannolikheten för att dra en given färg? Hur ska man tänka?
Förutom att du har flyttat runt (okända!) bollar har du inte gjort något annat än att ta en boll av tolv, i bägge fallen.
Bubo skrev:Förutom att du har flyttat runt (okända!) bollar har du inte gjort något annat än att ta en boll av tolv, i bägge fallen.
I fall (b) kan jag ha dragit 4 gula och 1 grön, sedan flyttat över 1 grön så att det enbart finns 4 gula kvar. Sannolikheten är ju 0 att jag drar en grön då. Räknas detta in ändå? Kan du bevisa ditt påstående?
Nyckeln är att du inte vet hur många bollar av respektive färg du har i den mindre högen. Det stämmer att om du vet att det finns 4 gula och 1 grön så är det en annan sannolikhet att dra en gul, men du vet ju inte detta.
Det går att bevisa: du ska räkna ut P(gul boll från lilla högen) och denna marginalfördelning kan du räkna ut genom att beräkna P(gul boll från lilla högen | det finns x gula i lilla högen)P(det finns x gula i lilla högen) för x=1,2,3,4 och summera (övriga värden på x kommer bara ge 0).
Med hjälp av en kalkylator på nätet som ger mig värden på P(det finns x gula i lilla högen) får jag det till 165/495=1/3.
Mindre exempel:
Framför dig finns en hög med 100 bollar, 1 gula och 99 gröna. Med stängda ögon drar du 1 boll (utan återlägg) och lägger den i en ny hög.
Du drar nu en boll från den nya högen. Vad är oddsen att den är gul?
Svar: *1 + *0 = 0,01, samma som om du tagit direkt ur ursprungshögen.
Lite större exempel:
Framför dig finns en hög med 100 bollar, 1 gula och 99 gröna. Med stängda ögon drar du 2 bollar (utan återlägg) och lägger dem i en ny hög.
Du drar nu en boll från den nya högen. Vad är oddsen att den är gul?
Svar: *1 + ()*0,5 + *0 = (0,01+0,01)*0,5 = 0,01, samma som om du tagit direkt ur ursprungshögen.
Vad är det som inte är uppenbart? Mam väljer slumpmässigt en av tolv:
Man blundar och flyttar runt lite bollar. Sedan tar man en av tolv bollar och öppnar ögonen.
