Sannolikhet poisson
I en viss affär kommer det i genomsnitt in en kund var sjätte minut.
a) Bestäm sannolikheten för att det under en 10-minuters-period kommer in exakt två kunder.
b) Bestäm sannolikheten att det dröjer mer än 5 minuter tills den första kunden.
Formel för Poissonfördelning:
Vi vill då ha reda på lambda. Kan jag få fram ett värde på lambda genom att 1 kund var 6:e minut är samma sak som 1/6 kund varje minut, och för 10 minuter: 1/6 * 10 = 10/6 som då blir
Då vi vill ha sannolikheten för exakt två kunder
Är detta korrekt? Och blir isåfall lambda i b-uppgiften (5 minuter * 1/6): ?
där f(x) = 0 vilket då ger oss 43.4%?
En tredje fråga: Skulle dessa även gå att lösa med Binomialfördelningen? Blir ju inte riktigt samma svar, men jag kanske har missat något. Mitt försök med Binom på a-uppgiften)
Jag kan inte Poisson-fördelningen. Men jag ville ändå hjälpa till, så jag försökte formulera det som om det vore ett diskret fall, för att se om jag fick fram ett svar som liknade ditt:
Under en minut antar jag att det är 1/6 att en kund kommer in i affären. Under tio minuter blir det då tio möjligheter för kunder att komma in eller inte komma in.
För att få ut hur stor sannolikheten är för att exakt två kunder kommer in måste man då välja ut 2 minuter av 10 som kunder kom in på och multiplicera med sannolikheten att precis så många kunder kom in.
Detta borde ges av:
Detta ligger ganska nära dina 26,2 %.
För att få med mer detaljer, prövade jag att diskretisera ner på sekunden istället för på minuten:
Under en sekund antar jag att det är 1/(6*60)= 1/360 att en kund kommer in i affären. Under 10*60= 600 sekunder blir det då 600 möjligheter för kunder att komma in eller inte komma in.
För att få ut hur stor sannolikheten är för att exakt två kunder kommer in måste man då välja ut 2 sekunder av 600 som kunder kom in på och multiplicera med sannolikheten att precis så många kunder kom in.
Detta borde ges av:
Detta ligger väldigt nära dina uträknade 26,2 %.
Så jag tycker att din lösning är rimlig, även om jag inte kan säga om du har gjort rätt.
Edit: Och om jag hade läst ditt inlägg i sin helhet hade jag sett att du frågade om just detta, om man kan betrakta det som en binomialfördelning.
Bedinsis skrev:
Snyggt! Det förklarade varför jag inte fick samma med min egen Binomial som med Poisson!
Enligt mitt formelblad kan man approximera en binomialfördelning till Poisson om n > 10 och p(sannolikheten) är < 0.1, jag fann inte att något av dessa villkor stämde och tyckte därför att det hela var lite konstigt.
Men när man ser på det i sekunder så blir båda dessa villkor uppfyllda och det blir då ganska tydligt att man kan approximera binomial till poisson.
Hur hade du löst B?
Om det dröjer mer än 5 minuter tills att första kunden kommer in är det ekvivalent med att säga att det inte kommer in någon kund under de första 4 minuterna.
Med resonemanget från tidigare kan detta i så fall uttryckas som
Och med samma resonemang som tidigare med diskretisering kring 60 sekunder per minut(även om detta är godtyckligt; vi skulle kunna dela in det i tusendels minuter till exempel) får man
Detta skulle innebära att sannolikheten att att ingen kund kommer in under fyra minuter är aningen större än att minst en kund kommer in. Intuitivt tycker jag det känns fel, men intuitionen kan ju bedra.
Eftersom att det blir en så enkel uträkning med endast en av faktorerna skilda från 1 ovan kan vi ju pröva ytterligare en diskretisering: räkna på var tiondels sekund.
Så resultatet tycks bestå.
Edit: Jag hittade var som jag får ett annorlunda svar än dig:
De efterfrågade när som det har dröjt mer än 5 minuter, vilket gör att det är under de 5 första minutrarna, ej de 4 första, som vi skall stöta på 0 kunder.
Uträkningarna blir då istället
Bedinsis skrev:
Tack så himla mycket för att du tog dig din tid, mycket uppskattat! :)
