sannolikhet och kombinatorik

Ett test består av fem frågor. På varje fråga finns det fyra alternativ A, B, C och D, där ett är rätt. Hur stor är sannolikheten att man får minst två fel på dessa frågor?

min lösning:

minst två fel = två fel, tre fel, fyra fel eller fem fel

jag tänker fem frågor f1, f2, f3, f4 och f5: _ _ _ _ _

Två fel: Exempelvis innebär kombinationen (f1, f2) att man har fel på fråga 1 och 2, medan kombinationen (f3, f5) betyder att man har fel på fråga 3 och 5. Antalet sätt att få två fel på fem frågor blir alltså $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$

Tre fel: Med liknande resonemang blir det $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

Fyra fel: $(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix})$

Fem fel: $(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix})$

Antalet gynsamma utfall = $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) = 26$

Antalet möjliga utfall tänker jag följande: På varje fråga kan man antingen svara rätt eller fel. Det finns 5 frågor. Alltså $2^{5}$ sätt=32 sätt

sannolikhet = 26/32 = 81%

men det blir fel eftersom svaret ska bli 60%. vad är det som jag gör fel, och hur löser man problemet?

På varje fråga kan man svara rätt eller fel eller annat fel svar eller det tredje felaktiga svaret.

ah okej, men hur ställer man upp det

Jag kanske löser den lite udda men jag tänker såhär:

Alla rätt har en chans på 0,25^5=0,0000976563 (en fjärdedelschans att pricka rätt per fråga och du ska göra det 5 gånger). Går endast att göra på ett sätt.

För att pricka in precis fyra rätt har varje möjlig kombinationen sannolikhet på 0,25^4*0,75=0,0029297 du kan göra det på 5 olika sätt. (fel på nummer 1,2,3,4,eller 5.) Sannolikheten för att någon av dessa inträffar är alltså

0,25^4*0,75*5=0,014648

Totala sannolikheten för minst två fel är komplementhändelserna till fyra rätt eller mer. Jag får svaret til 98,5% chans att ha minst två fel på de fem frågorna.

Har gjort ett excelblad med alla kombinationer som summerar till 1 så jag är ganska övertygad (men inte helt!) om att min lösning funkar. MVH!Henke

Har nu även gjort en simulering i Python Som man kan klistra in i en kodeditor om man har tråkigt! ;)

import random
antal4=0
mer_an_2=0
for n in range (10000):
print("*")
antal4=0
for x in range(5):

svar=random.randint(1,4)
print(svar)
if svar==4:
antal4=antal4+1
if antal4<4:
mer_an_2=mer_an_2+1

else:
print("Mindre än två fel",antal4)
print("Två eller mer. ", mer_an_2)

10000 körningar ger minst två fel i 9840 fall cirka! Verkar stämma alltså :)

Svara

Visa senaste svar