Sannolikhet- Och, eller

Addition av sannolikheter används när du har händelser som inte kan ske samtidigt, exempelvis "tärningen visar en femma" och "tärningen visar en tvåa". Då kan du addera två sannolikheter, eftersom $P(A och B)$ då är noll.

som jag inte riktigt vet när jag ska använda

Denna formel används när du vill veta sannolikheten för att antingen A eller B händer, eller båda, men A och B kan inträffa samtidigt, exempelvis "tärningen visar en femma" och "tärningen visar fler än tre prickar".

vad händer om vi t.ex har 3 händelser

Om du har tre möjliga utfall, A, B och C, gäller det att  $P(A, B eller C)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P(A och B)-P(A och C)-P(B och C)+P(A och B och C)$. :)

Tack, men varför blir p(A och B) noll? 

- Kan du härleda formeln för p(A, B eller C)

Smutstvätt skrev:

Om du har tre möjliga utfall, A, B och C, gäller det att  $P(A, B eller C)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P(A och B)-P(A och C)-P(B och C)+P(A och B och C)$. :)

fråga: 

den här formeln gäller bara om A B och C har gemensamma utfall? För annars kan man bara dela sannolikheterna med varandra?

Tack, men varför blir p(A och B) noll? 

P(A och B) är noll per definition, eftersom det inte finns något överlapp mellan händelserna. I tärningsexemplet kan du inte få både fem och två samtidigt, det är antingen eller som gäller. 

- Kan du härleda formeln för p(A, B eller C)

En härledning, coming right up! :)

Vi har tre olika händelser, som överlappar varandra godtyckligt mycket: 

I denna figur har vi sju områden, det som ligger enbart i en mängd, det som ligger enbart i två mängder, och det som ligger enbart i alla tre mängder. Vi vill komma till att vi lagt till alla dessa områden precis en gång. Då har vi hittat P(A eller B eller C). 

Vi provar genom att addera alla cirklar. Om vi lägger till cirklarna A, B och C har vi lagt till: 

• Det som endast ligger i A
• Det som endast ligger i B
• Det som endast ligger i C
• Överlappet mellan A och B två gånger
• Överlappet mellan B och C två gånger
• Överlappet mellan A och C två gånger.
• Dessutom har vi lagt till överlappet mellan A, B och C tre gånger, eftersom den triangeln ingår i alla överlappen. 

För att nu komma till att vi lagt till alla områden en gång, behöver vi subtrahera bort:

• Överlappet mellan A och B
• Överlappet mellan B och C
• Överlappet mellan A och C

Okej, det verkar väl ganska rimligt. Hur är det då med mitten? Överlappet mellan alla mängder, mittentriangeln, ingår i alla överlapp vi subtraherat bort. Det innebär att vi subtraherat bort mittentriangeln tre gånger nu. Därför behöver vi lägga till mittentriangeln en gång, så har vi fått hela figuren vi letade efter. 

Om vi skriver detta matematiskt får vi att 

$\mathrm{P}(\mathrm{A} \mathrm{eller} \mathrm{B} \mathrm{eller} \mathrm{C})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)-\mathrm{P}(\mathrm{A} \mathrm{och} \mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{B} \mathrm{och} \mathrm{C})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \mathrm{och} \mathrm{C})+\mathrm{P}(\mathrm{A} \mathrm{och} \mathrm{B} \mathrm{och} \mathrm{C})$

(inte världens bästa förklaring, säg till om något är oklart!)

den här formeln gäller bara om A B och C har gemensamma utfall? För annars kan man bara dela sannolikheterna med varandra?

Denna formel gäller, precis som $\mathrm{P}(\mathrm{A} \mathrm{eller} \mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-\mathrm{P}(\mathrm{A} \mathrm{och} \mathrm{B})$, alltid, oavsett överlapp. Om det inte finns något överlapp är alla "P(X och Y)" noll, och denna formel blir likadan som den som brukar användas då det saknas överlapp. :)