Sannolikhet - normalfördelning och z-fördelning

Quacker skrev:

Normalfördelningen beskrivs av en funktion (enligt läraren inte relevant att kunna) där x är mellan minus oändligheten och oändligheten.

Och så ska man integrera den mellan minus oändligheten och oändligheten.

1) Varför?

2) Och vad ger det?

3) Utifrån integreringen säger läraren att "Mer praktiskt är det med standardiserad normalfördelning: en z-fördelning".

Varför är denna bättre än normalfördelning?

1. Den skall vanligtvis ej integreras mellan $-\infty$ och $\infty$. Dock skall denna integral vara 1 för att det skall vara en täthetsfunktion.

2. Ingenting. Vad man ofta söker är $\Phi(x)=F_X(x)=\int_{-\infty}^x\!f_X(t)\,\mathrm{d}t$ där $f_X(x)$ är täthetsfunktionen för den s.v. $X$.

3. Enda anledningen jag kan tänka på är om miniräknare har $\Phi(x)$-funktionen som standardfunktion. Annars fungerar d.v.s. andra metoder som t.ex. numerisk integrering eller ”erf”-funktionen. Den standardiserade normalfördelningens praktiska användande var centralt när man inte hade tekniska hjälpmedel utan fick använda tabeller för att slå upp integralens värde för olika $x$.

Jag hänger tyvärr inte med i din förklaring och termerna/tecknen.