Sannolikhet med udda kortlek

Uppgiften lyder att du spelar poker och du drar 5 kort vad är chansen att dra ett fyrtal. Här de enkelt med $\frac{13 * 48}{(\begin{matrix} 52 \\ 5 \end{matrix})}$ vilket är antal kombinationer delat med antal sätt man kan dra fem kort.

Men den här kortleken har 3 extra kungar och en extra dam, jag tänkte att $p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B)$
och räkna ut varje sannolikhet för sig på samma sätt som tidigare. Som för kungar blev det $\frac{13 * 49}{(\begin{matrix} 56 \\ 5 \end{matrix})}$ vilket var fullt fel.

Min fulla lösning var $\frac{13 * 49}{(\begin{matrix} 56 \\ 5 \end{matrix})} + \frac{13 * 51}{(\begin{matrix} 56 \\ 5 \end{matrix})} + \frac{13 * 52}{(\begin{matrix} 56 \\ 5 \end{matrix})} * 11 - \frac{13 * 49}{(\begin{matrix} 56 \\ 5 \end{matrix})} \frac{13 * 51}{(\begin{matrix} 56 \\ 5 \end{matrix})} {(\frac{13 * 52}{(\begin{matrix} 56 \\ 5 \end{matrix})})}^{11}$
Nu sitter jag helt fast med hur jag ska gå vidare.

Du kan ta reda på antalet kombinationer som renderar fyrtal genom att betrakta tre ömsesidigt uteslutande fall.

Fall 1: Fyrtal med någon av de 11 valörerna som inte är kung eller dam.

Fall 2: Fyrtal med kungar.

Fall 3: Fyrtal med damer.

I fall 1 så kan vi konstruera en fyrtalshand på följande vis. Börja med att välja en av de 11 valörerna ( ${11 \choose 1}$ möjligheter), för att därefter välja samtliga fyra kort av denna valör ( ${4 \choose 4}$ möjligheter) , för att därefter välja något av de övriga 52 resterande korten ( ${52 \choose 1}$ möjligheter).

I fall 2 kan vi konstruera en fyrtalshand på följande vis. Välj fyra av de sju tillgängliga kungarna ( ${7 \choose 4}$ möjligheter), för att därefter välja något av de övriga 52 korten ( ${52 \choose 1}$ möjligheter).

I fall 3 kan du resonera på ett liknande sätt.

För att få antalet sätt du kan få fyrtal på så kan du därefter tillämpa additionsprincipen och multiplikationsprincipen.

Svara