Sannolikhet med apor som skriver HP

Hej! Jag sitter med en uppgift som jag skall redovisa muntligt, och känner att jag vill vara ordentligt förberedd och införstådd i uppgiften innan jag börjar. Skulle därför uppskatta oerhört att få tips och guidning till rätt tänk här! Utan någon hjälp till direkt rätt svar, naturligtvis :)

Frågan lyder:

I ett experiment gör 1000 apor högskoleprovets ORD-del, två gånger om året i 40 år.
ORD-delen består av 40 frågor med 4 svarsalternativ, aporna markerar helt slumpmässigt ett svar oberoende av tidigare försök och oberoende av varandra.
Om en apa får minst 23 rätt någon gång under försöket vinner han en bil efter att experimentet avslutats.(A)
Vad är sannolikheten att:

a) ingen bil behöver utbetalas?
b) minst två bilar behöver utbetalas?

Jag känner när jag läser uppgiften att jag har löst liknande uppgifter flera gånger förr, men när jag gräver mig in i den här blir jag lite ställd och fastnar! Såhär långt har jag kommit hittills:

Eftersom många faktorer kommer spela in i slutändan (det ska göras två gånger om året i 40 år, det är 1000 apor som skriver) osv så förstår jag att jag måste börja med mindre sannolikheter och jobba mig utåt.

Det finns ju $4^{40}$ olika sätt att svara på provet till att börja med, sedan tänker jag att antal sätt man kan vinna på, alltså 23 eller fler rätt, blir $(\begin{matrix} 40 \\ 23 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 40 \\ 24 \end{matrix})$ +...+ $(\begin{matrix} 40 \\ 40 \end{matrix})$ . Det känns dock som en för omständigt lösning, hur ska jag tänka här egentligen? Jag vill ju veta hur många utav $4^{40}$ som är gynnsamma, så att jag kan få reda på sannolikheten för EN apa att vinna på ETT prov P(vinst.1).
Sedan skrivs det 2 prov om året i 40 år, d.v.s. 80 provtillfällen. 1000 apor deltar. Då borde sannolikheten totalt för att någon ska vinna vara P(vinst.1) $\times$ 80 $\times$ 1000 = P(vinst.tot). Sannolikheten att INGEN vinner blir då 1-P(vinst.tot)

Tacksam för tips! Mvh

Vad är sannolikheten för att en apa får precis 23 rätt?

För minst 23 rätt ser jag inte att det finns en smidig lösning, utan det är nog brute force-metoden som gäller (bortsett från ett vanligt knep).

Förhoppningsvis är tillgång till dator tillåten :)

Med tanke på det stora antalet prov som ska skrivas så kommer jag spontant att tänka på Centrala Gränsvärdessatsen.

Tack, jag ska kika närmre på brute force-metoden och Centrala Gränsvärdessatsen senare i eftermiddag efter jobbet.

Är mitt resonemang i övrigt korrekt rent teoretiskt? eller tänker jag fel någonstans?

Jag har kollat igenom Centrala Gränsvärdessatsen och det är inget som vi alls gått igenom i denna kursen så jag tror nog inte det är något jag ska använda mig av. Brute Force-metoden går bort för jag ska göra den muntligt på en white board bara, ingen dator.

Någon som har något mer/annat lösningsförslag? :)

Och, (förlåt att jag tjatar), har jag tänkt rätt teoretiskt för lösning av uppgiften?

KarlJohanG skrev:

Och, (förlåt att jag tjatar), har jag tänkt rätt teoretiskt för lösning av uppgiften?

Nja, inte riktigt.

40 över 23 är det antal sätt du kan välja ut 23 stycken uppgifter av 40. Om du betecknar "R=rätt svar" och "F=fel svar" så är det alltså så många kombinationer du kan göra av 23 stycken R och 17 stycken F.

Men när du nu jämför med alla 4^40 rader så ser du nog att varje sådan kombination, t.ex. RFRRRFFRRRRFFFFRRRFRRRRFFFRRRFRRFFFFFFRRR går att få till på många sätt. På varje fråga finns ju tre möjligheter att svara fel.

Att ingen bil betalas ut kräver att det blir förlust (dvs komplementhändelsen till "minst23rätt") vid 80000 oberoende tillfällen.

Man kan också se direkt att P(vinst.1)×80×1000 = P(vinst.tot) inte kan stämma. Med tillräckligt många apor skulle formeln kunna ge mer än 100% sannolikhet för vinst!

Oj okej, nej men då förstår jag att det blir fel!
Men sannolikheten för exakt 23 rätt borde då bli såhär va? (23rätt, 17fel) = $({(\frac{1}{4})}^{23} \times {(\frac{3}{4})}^{17}) \times (\begin{matrix} 40 \\ 23 \end{matrix})$
Det ser mer korrekt ut va?
Kan jag räkna ut sannolikheten för exakt 23 rätt, exakt 24 rätt, exakt 25 rätt osv. och addera dessa för att få totala sannolikheten för vinst? Även om detta är en väldigt komplicerad metod?

En sak jag också funderat över angående komplementhändelser, jag har tidigare enbart stött på problem som lyder typ "...sannolikheten att slå Minst EN sexa...", och då är det enkelt när komplementhändelsen alltid är att man helt enkelt inte får någon sexa alls. Det blir lite annorlunda i detta fallet när det är minst 23 va? Blir komplementhändelsen 22 då..?

KarlJohanG skrev:
Oj okej, nej men då förstår jag att det blir fel!
Men sannolikheten för exakt 23 rätt borde då bli såhär va? (23rätt, 17fel) = $({(\frac{1}{4})}^{23} \times {(\frac{3}{4})}^{17}) \times (\begin{matrix} 40 \\ 23 \end{matrix})$
Det ser mer korrekt ut va?

Nja, antalet möjligheter att få RFRRRFFRRRRFFFFRRRFRRRRFFFRRRFRRFFFFFFRRR är exakt lika med antalet möjligheter att få 17 fel på 17 frågor. Det är alltså rätt många av de 4^40 raderna som ger resultatet RFRRRFFRRRRFFFFRRRFRRRRFFFRRRFRRFFFFFFRRR . Hur många möjligheter är det?

Sedan blir det totala antalet möjligheter att får 23 rätt lika med (40 över 23) gånger gånger (antal möjligheter att få 17fel på 17 frågor)

Kan jag räkna ut sannolikheten för exakt 23 rätt, exakt 24 rätt, exakt 25 rätt osv. och addera dessa för att få totala sannolikheten för vinst? Även om detta är en väldigt komplicerad metod?

Ja. Det börjar bli väldigt krångligt nu.

En sak jag också funderat över angående komplementhändelser, jag har tidigare enbart stött på problem som lyder typ "...sannolikheten att slå Minst EN sexa...", och då är det enkelt när komplementhändelsen alltid är att man helt enkelt inte får någon sexa alls. Det blir lite annorlunda i detta fallet när det är minst 23 va? Blir komplementhändelsen 22 då..?

Nja, när du väl har räknat ut sannolikheten för att en slumprad vinner en bil, det jag tror att du menar med P(vinst.1) så är det lämpligt att titta på komplementhändelsen där, alltså sannolikheten för att en apa skriver en rad men inte vinner en bil. Det är ju den händelsen som skall upprepas 80000 gånger för att det man frågar efter i a) skall inträffa.

Det här verkar vara en orimligt svår uppgift att lösa exakt.

Missar jag något uppenbart?

Det var några år sedan jag pluggade matte så detta kan vara helt galet men jag tänker så här ...

Sannolikheten för 1 apa att få minst 23 rätt:

$P_{1} = (\frac{1}{4})^{23} + (\frac{1}{4})^{24} + . . . + (\frac{1}{4})^{40}$

Sannolikheten för n apor att få minst 23 rätt vardera:

$P_{n} = P_{1}^{n}$

Sannolikheten att minst 1 apa får minst 23 rätt vardera. Osäker på om denna addition av händelser verkligen stämmer och hela svaret hänger på detta:

$P_{v} = P_{1} + P_{2} + . . . + P_{n} = \sum_{x = 1}^{n} P_{x}$

Då får jag svaren till:

a) Sannolikheten att ingen bil behöver utbetalas:

$P_{a} = 1 - P_{v}$

b) Sannolikheten att minst två bilar behöver utbetalas:

$P_{b} = P_{v} - P_{1}$

Kan detta stämma?

Lindehavens första formel stämmer inte. Kan kommentera detta vidare i kväll.

Svara

Visa senaste svar