Sannolikhet för att hamna bredvid varandra
Robert, Ailin och Pierre och tre andra kompisar går till matsalen. Där sätter de sig slumpmässigt vid ett runt bord med sex platser. Vad är sannolikheten att Robert, Ailin och Pierre hamnar bredvid varandra.
Jag tänker att man ska ta totalt antal sätt som de kan sitta, dvs sätt och sedan subtrahera det med antal sätt som de tre hamnar bredvid varandra. Är jag på rätt spår?
Sannolikheten är antalet gynnsamma utfall delat på det totala antalet utfall.
Du bör dividera det antal sätt som de hamnar bredvid varandra på med det totala antalet sätt de kan sitta på.
Oj, ja så är det ju!
Men hur räknar man ut antal sätt de hamnar bredvid varandra?
Jag tänkte att det är 3!=6, men sen att man måste ta med antalet sätt som de andra kan sprida ut sig på de andra platserna, vilket också är 3!. Alltså att det då blir totalt 6*6=36 möjliga sätt de hamnar bredvid varandra. Det borde då bli men det är fel. :(
Antalet utfall bör ges av antalet sätt som Robert, Ailin och Pierre kan sätta sig på. Om vi antar att de sätter sig i tur och ordning:
Robert kan välja 6 olika stolar, Ailin kan sedan välja 5 olika stolar, Pierre kan slutligen välja 4 olika stolar.
Totala antalet utfall bör vara 6*5*4.
Sedan är det antalet gynnsamma utfall.
Robert väljer först. Han har sex val.
Ailin väljer sedan. Det finns två val som gör att han sitter bredvid Robert och två val som gör att han sitter en stol från Robert.
Pierre väljer sedan. Om Ailin sitter bredvid Robert har han två val, om de sitter en stol från varandra har han ett val.
6*(2*2+2*1)= 6*6 = 36.
Man kan också se detta som att man väljer dels vilken ordning bredvid varandra som de skall sitta på(vilket kan göras på 3!=6 sätt) dels väljer man vilken stol runt bordet som denna slinga av vänner skall utgå från(vilket också kan göras på 6 sätt).
(6*6)/(6*5*4) = 6/20 = 30/100 = 0,3.
Jag tycker det enklaste sättet är att tänka sig att vi slumpmässigt väljer ut tre personer som skall sitta på bestämda platser,
t ex stol nr 1, nr 2 och nr 3 vid det runda bordet. Hur stor är då sannolikheten att Robert, Ailin och Pierre är de tre slumpmässigt utvalda? Jo, vid första valet/dragningen finns det 3 personer av totalt 6 att välja (alltså 0,5), därefter finns det 2 av totalt 5 att välja mellan (0,4), och till sist 1 av totalt 4 personer (0,25). Om du multiplicerar dessa tre olika sannolikheterna så får du den totala sannolikheten för utfallet som vi söker.
En alternativ lösning är att räkna ut antal möjliga utfall för de placeringar vi söker, och sedan dela dessa med det totala antalet möjliga placeringar för alla sex personerna. Det finns två varianter av placeringar för R, A och P, dessa måste adderas innan du delar med 6!. I det första alt. har Robert 6 stolar att välja mellan, därefter har Ailin 2 möjliga stolar (antingen omedelbart till höger eller till vänster om Robert), till sist har även Pierre 2 stolar att välja mellan (till höger eller vänster om paret R och A. Vi får då totalt (6*2*2). I det andra alt (som ser nästan lika dant ut) har Robert först 6 stolar att välja mellan, därefter har Ailin 2 möjliga stolar, nämligen till höger eller vänster, men med en stol mellan sig och Robert (Om R t ex sitter på stol nr 1, så kan A sitta på stol nr 3 eller nr 5), till sist måste då P sitta mellan R och A, alltså endast ett val . Vi får då totalt (6*2*1). Nu kan du slutligen summera sannolikheterna för dessa två möjliga utfall, och därefter dividera summan med 720.
Jag förstår om du tycker det verkar krångligt, det svåra är ofta att förklara på ett enkelt sätt!
