Sannolikhet att roterande nål korsar två parallella linjer
Hej!
Jag har hållit på med en uppgift som lyder så här:
Jag har lyckats lösa uppgiften, men jag tycker min lösning är orimligt krånglig, någon som har ett förslag på snyggare lösning?
Sannolikheten att nålen stannar på av blir då:
Är det vderkligen en Ma2-uppgift? Den blir nämligen väldigt mycket enklare när man lärt sig vinkelmåttet radianer, vilket man gör i Ma4.
Uppgiften är tagen från Matematik 5000 2c.
På vilket sätt blir uppgiften enklare med radianer?
Tänk att nålen precis nuddar linjerna. Den lutar då uppåt åt höger (och nedåt åt vänster).
Betrakta nålen som hypotenusan i en rätvinklig triangel, hypotenusan = 2a kateten=a
Vinkeln mellan nålen och undre linjen = V
sin V =a/2a V=30 grader
Nålen kan stanna mellan detta läge, lutar då uppåt åt höger (och nedåt åt vänster)
och motsatsen, lutar nedåt åt höger (och uppåt åt vänster).
Om du tänker dig att nålen har en pil i bara ena änden så kan den alltså peka
mellan +30 och -30 grader samt mellan +150 och +210 grader, alltså totalt 120 grader.
Vid alla andra lägen bryter nålen linjerna, och dessa lägen infaller då vid 240 grader på varvet.
Sannolikheten blir då precis som du räknat ut det 240/360
Avstånd mellan linjerna: D
Nålens spets hamnar över linjerna (d.v.s linjerna skärs) om
D*sin(v) > D/2
vilket ger
30° < v < 150°
Längden av detta vinkelintervall delas med 180° för att få sannolikheten.
Jaha, jag lyckades aldrig inse att man kunde göra en stor triangel med hela nålens längd som hypotenusa (jag räknade med nålens mittpunkt som ett hörn i triangeln, och då krävdes en massa koordinatgeometri..).
Tack för svar!
På vilket sätt blir uppgiften enklare med radianer?
Jag missade att pilen satt fast i mitten. Det var uppgiften jag tänkte på som skulle ha blivit mycket lättare, inte uppgiften det egentligen var.
