Sannolikhet att aldrig lyckas.

Kan du lista ut det härifrån? Den här summan är inget du kan/ska räkna ut själv, så antingen missar jag något uppenbart eller så är det en väldigt konstig fråga att ställa på gymnasiet.

Nja, det är produkten jag är ute efter, men antar att jag kan få fram den på samma sätt genom Wolfram Alpha. Jag ska dock som du säger kunna lösa ut det själv, och där är jag helt fast.

Jo, jag tycker också det känns som en lite väl svår fråga för gymnasiet, men jag har skrivit av den helt korrekt, känns definitivt som om jag missar något. 

Titta på sannolikheten att misslyckas n gånger i rad. 

Försök att faktorisera täljaren och sedan förkorta så mycket som möjligt.

Men om du får använda wolfram är det väl bara ta bort första termen från summan (pga n+1, du börjar på 2) så har du sannolikheten att lyckas någon gång. Vad blir då sannolikheten att inte göra det?

Micimacko skrev:

Men om du får använda wolfram är det väl bara ta bort första termen från summan (pga n+1, du börjar på 2) så har du sannolikheten att lyckas någon gång. Vad blir då sannolikheten att inte göra det?

Men problemet är väl att summan inte är sannolikheten att lyckas någon gång, utan det förväntade antalet gånger att lyckas.

Jämför med att kasta en tärning sex gånger och försöka slå en sexa.

1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= det förväntade antalet sexor.

5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6 = sannolikheten att aldrig lyckas.

Jag tänkte typ som summan i en geometrisk fördelning. Får fundera på det..

Jag har skrivit in min formel i Wolfram och får då detta resultat, som enligt mig verkar rimligt

Men hur tusan ska jag komma fram till detta själv?

Att använda summan blir fel, precis som Smutsmannen säger.

Problemet jag har med att titta på misslyckandet n gånger i rad är att jag då behöver räkna med alla försök innan n, och hur gör jag det? Ska jag helt enkelt sätta n till ett valt tal och räkna? Det känns inte rätt.

Angående summa/produkt så är det olika tolkningar av frågan. Om man ser formeln som sannolikheten att lyckas vid ett visst bestämt försök oberoende av vad som hänt tidigare blir det formeln med produkt.

Jag tolkade det som att formeln beskrev sannolikheten att lyckas för första gången på just försök nummer n, isf beskriver en summa sannolikheten att något av försöken 1 till n ska lyckas, alltså en sannolikhetsfunktion som saknar en stapel.

Men om vi kör på din tolkning är du ju klar. Du har räknat med alla tal fram till oändligheten, så du vet redan vad som händer i försöken fram till dess.

Egentligen har du räknat rätt. Som smutsmannen säger, man skall beräkna P(misslyckas vid försök 1) *P(misslyckas vid försök 2)*...P(misslyckas vid försök n)...... =0.5 (enligt wolfram alpha). Tittar man på ett antal termer genom att variera övre gränsen ser man vart det går emot.

Jag är osäker på hur man skall lösa det analytiskt. (Om det nu går, speciellt inom ma5)

Jag visar lite mer steg för steg:

Sannolikheten att misslyckas de första n gångerna:

$$\begin{gathered} \prod _{k=1}^n\frac{k^2+2k}{{(k+1)}^2}=\prod _{k=1}^n\frac{k(k+2)}{{(k+1)}^2}=\frac{(1\times 2\times ...n)(3\times 4\times ...n+2)}{{(2\times 3\times ...n+1)}^2}= \\ \frac{n!{\displaystyle \frac{(n+2)!}{1\times 2}}}{({(n+1)!)}^2}= \frac{1}{2}\frac{n+2}{n+1} \end{gathered}$$

så när n ---> oändligheten är sannolikheten att vi misslyckas

$\underset{n\to \infty }{lim} \frac{1}{2}\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{2}$

Jag hittade den här länken, som kommer fram till samma svar som ovan:

http://www.stumblingrobot.com/2015/07/02/establish-a-formula-for-1-141-19-1-1n2/

Är detta verkligen ma5?

Jag vet inte, tänker att uppgiften inte innehåller något som inte är gymnasiematte. Samtidigt är min bedömning att en överväldigande majoritet av studenter på envariabelanalys på högskolan inte löser denna uppgift.

Hej,

Låt slumpvariabeln $X$ beteckna antalet försök som behöver utföras till och med man lyckas för första gången.

Sannolikheten att man ännu inte har lyckats vid försök nummer $n$ är $P(X>n)$ och du är intresserad av gränsvärdet

    $\lim_{n\to\infty}P(X>n).$

Komplementsatsen låter dig skriva

    $\displaystyle P(X>n) = 1-P(X\leq n) = 1-\sum_{k=1}^{n}P(X=k) = 1-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^2} = 2-\sum_{m=1}^{n+1}\frac{1}{m^2}.$

Den kända serien $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}$ ger den sökta sannolikheten 

    $\lim_{n\to\infty}P(X>n) = 2-\frac{\pi^2}{6}\approx 0.36.$

Smutsmunnen skrev:

Jag visar lite mer steg för steg:

Sannolikheten att misslyckas de första n gångerna:

$$\begin{gathered} \prod _{k=1}^n\frac{k^2+2k}{{(k+1)}^2}=\prod _{k=1}^n\frac{k(k+2)}{{(k+1)}^2}=\frac{(1\times 2\times ...n)(3\times 4\times ...n+2)}{{(2\times 3\times ...n+1)}^2}= \\ \frac{n!{\displaystyle \frac{(n+2)!}{1\times 2}}}{({(n+1)!)}^2}= \frac{1}{2}\frac{n+2}{n+1} \end{gathered}$$

 

så när n ---> oändligheten är sannolikheten att vi misslyckas

$\underset{n\to \infty }{lim} \frac{1}{2}\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{2}$

Nu ser det ut som det jag har varit ute efter, jag är dock osäker på hur du gjorde de sista och näst sista stegen, alltså $\frac{n!{\displaystyle \frac{(n+2)!}{1\times 2}}}{({(n+1)!)}^2}=\frac{1}{2}\frac{n+2}{n+1}$

Varifrån kommer bråket i täljaren, och hur förkortar du sedan alltsammans?

Om du bryter ut alla 2:or, n+1 och n+2 från parenteserna i steget innan så har du 2 av varje siffra där emellan både uppe och nere, så bara att stryka.

Ett experiment utförs tills det lyckats

Man håller på ända tills man lyckas, alltså slutar man inte förrän man har lyckats. Därfär borde svaret på frågan vara 0.

Smaragdalena skrev:

Ett experiment utförs tills det lyckats

Man håller på ända tills man lyckas, alltså slutar man inte förrän man har lyckats. Därfär borde svaret på frågan vara 0.

Om man i stället skulle säga att sannolikheten för att lyckas i försök n är 1/(n+1)² för n < 100, men sedan 0 för alla n > 99, så blir det tydligare att sannolikheten för att aldrig lyckas kan vara skilt från noll.

Den stackars experimentatorn får ju hålla på och aldrig sluta, men vi som definierar sakerna ser hela den oändliga försöksserien på en gång.