Sannolikhet

Hej!

Uppgiften jag har fått lyder:

Antag att du utmanas på att kasta basketboll och räkna antal gånger bollen träffar korgen. Du kan välja mellan att (A) med säkerhet få kasta 5 gånger, eller att (B) få kasta en gång i taget tills dess att du missar. Antag att sannolikheten att träffa korgen i ett enstaka kast är densamma oavsett vilken variant du väljer. Vilken sannolikhet att lyckas i ett enstaka kast krävs för att alternativ (A) och (B) i genomsnitt skall ge samma resultat? (svara i procent utan decimal).

Jag uppmanas i ett tips att ta reda på vilka fördelningar som de olika alternativen har, och har tänkt att A är binomialfördelat och B är geometriskt fördelade. Försökte sedan använda dess formler för väntevärden, n x p för binomial och 1/p för geometriska fördelningen. Räknade fram att det skulle bli 35% genom att testa mig fram och se när de hade på ett ungefär lika väntevärde, men stämde inte. Hur skall jag tänka?

Låt sannolikheten att man sätter ett kast vara p, och q ( = 1 - p) vara sannolikheten att du missar ett kast. Du vet att $A \sim Bin(5, p)$ , sedan vet du att $B \sim Geo(q)$ . Väntevärdet på dessa är

$E[A] = 5p$

$E[B] = \frac{1 - q}{q} = \frac{p}{1 - p}$

Så alltså ska du bestämma p så att

$5p = \frac{p}{1 - p}$

Denna kan skrivas om till

$p(4 - 5p) = 0$

Alltså är antingen $p = 0$ eller så är $p = 4/5$ .

Svara