Sannolikhet

Bussen går varje 20 min ... max väntetid 20 min

Sannolikhet att väntetid <= 2 min vid en resa: 1/10 (Agneta går till fots tillbaka!)

Motsatt utfall, dvs sannolikhet att väntetid > 2 min vid en resa: 1 - 1/10 = 9/10

Sannolikhet att väntetid > 2 min vid alla 10 resor: (9/10) ^ 10 = cca 0.35

Motsatt utfall, dvs väntetid <= 2 min vid åtminstone en resa 1 - 0.35 = 0.65

Att väntetiden blir högst 2 minuter en eller flera dagar är alternativet till att väntetiden alltid blir minst 2 minuter. Sannolikheten är då 1 - sannolikheten för det senare alternativet. Väntetiden blir minst 2 minuter med en sannolikhet av 18/20 (eller (20 - 2)/20 som det står) en viss dag, och för att det ska upprepas under 10 dagar blir det (18/20)^10.

Hej!

Låt $A_k$ beteckna Agnetas väntetid på morgonen vid dag nummer $k.$ Eftersom Agnetas buss avgår från hennes hållplats var 20:e minut så är hennes väntetid varje morgon en slumpvariabel som är likformigt fördelad på intervallet [0,20] minuter.

Agnetas kortaste väntetid under en 10-dagarsperiod är lika med slumpvariabeln $\min (A_1,A_2,\ldots, A_{10}$. Du vill bestämma sannolikheten att den kortaste väntetiden är som mest 2 minuter, det vill säga

    $\text{Prob}(\min(A_1,A_2,\ldots,A_{10})\leq 2).$

Detta är samma sak som att bestämma sannolikheten

    $\text{Prob}(\min(A_1,A_2,\ldots,A_{10}) > 2)$

vilket är enklare att beräkna eftersom vi antar att Agnetas väntetider är oberoende slumpvariabler Antagandet om oberoende låter dig skriva sannolikheten som en produkt av 10 stycken sannolikheter, som var och en är enkel att beräkna.

    $\text{Prob}(\min(A_1,A_2,\ldots,A_{10}) > 2) = \text{Prob}(A_1 > 2) \cdot \text{Prob}(A_2 > 2) \cdot \cdots \cdot \text{Prob}(A_{10} > 2)$.

Eftersom varje väntetid $A_k$ har samma likformiga sannolikhetsfördelning så är samtliga faktorer i produkten lika med varandra, vilket ger sannolikheten

    Error converting from LaTeX to MathML.

Albiki

Ni har varit till stor hjälp!!