Sannolikhet
I en urna finns det 4 röda och 5 vita kulor, vilket av dessa alternativ är mest sannolik?
a) Att man plockar två kulor på måfå med återläggning och får två kulor av samma färg?
b) Att man plockar två kulor på måfå utan återläggning och får två kulor av olika färger?
För a) tänkte jag såhär:
För b) tänkte jag såhär:
Gör jag fel någonstans? Finns det någon generell formel som man ska följa här, isånnafall vilken? Hur löser man en sån här uppgift på A-nivå?
Två lika färger: röd-röd eller vit-vit.
Två olika färger: röd-vit eller vit-röd.
Vad är sannolikheterna för de olika fallen?
Dr. G skrev :Två lika färger: röd-röd eller vit-vit.
Två olika färger: röd-vit eller vit-röd.
Vad är sannolikheterna för de olika fallen?
Som jag skrev där uppe
Har du ritat ett träddiagram? Det underlättar väldigt mycket. Dina svar stämmer inte, och jag tror du skulle få fram rätt svar med hjälp av träddiagrammet.
Smaragdalena skrev :Har du ritat ett träddiagram? Det underlättar väldigt mycket. Dina svar stämmer inte, och jag tror du skulle få fram rätt svar med hjälp av träddiagrammet.
Vet inte hur jag skulle rita på ett träddiagram faktiskt.. finns det exempel online som svarar på en liknande fråga som min?
Matteboken.se innehåller alla matekurser från förskoleklass till matte kompletterineg på gymnasiet. Naturligtvis finns där en sida om sannolikhet, bl a träddiagram.
Kan man inte luta sig lite mot sin intuition här? Tänk på a-uppgiften först -- om du först tagit upp en kula så har den någon färg. Du har ungefär lika många röda som vita. Vad är nu chansen att du får upp en av samma färg som den första? Det måste nästan vara ett svar ganska nära 1/2. Det känns som att du har räknat något som representerar egenskapen för ett plock, och dubbla värdet ligger nära det rimliga svaret. Samma resonemang ger att andra uppgiften borde vara en siffra nära en halv.
PeBo skrev :Kan man inte luta sig lite mot sin intuition här? Tänk på a-uppgiften först -- om du först tagit upp en kula så har den någon färg. Du har ungefär lika många röda som vita. Vad är nu chansen att du får upp en av samma färg som den första? Det måste nästan vara ett svar ganska nära 1/2. Det känns som att du har räknat något som representerar egenskapen för ett plock, och dubbla värdet ligger nära det rimliga svaret. Samma resonemang ger att andra uppgiften borde vara en siffra nära en halv.
Kan du förklara med exempel utifrån frågan?
Träddiagram:
Från start har du två vägar (första kulan), vit eller röd. Beräkna sannolikhet för varje väg.
I nästa steg har du två vägar från varje möjlig startpunkt, vit eller röd. Sannolikhet för varje väg - och nu finns det totalt hur många vägar att räkna på - beror på både startpunkt och vägfärg.
Efter andra steget har du gått någon av vägarna vitvit, vitröd, rödvit eller rödröd.
Rita en figur.
Bubo skrev :Träddiagram:
Från start har du två vägar (första kulan), vit eller röd. Beräkna sannolikhet för varje väg.
I nästa steg har du två vägar från varje möjlig startpunkt, vit eller röd. Sannolikhet för varje väg - och nu finns det totalt hur många vägar att räkna på - beror på både startpunkt och vägfärg.
Efter andra steget har du gått någon av vägarna vitvit, vitröd, rödvit eller rödröd.
Rita en figur.
Okej så på vänstra sidan har jag att V(5/9) * V(5/9) * R(4/9) och på högra sidan av träddiagrammet har jag R(4/9) * R(4/9) * V(5/9), är det nu att addera dessa summor med varandra? Obs att jag räknat med återläggning vilket är varför som täljaren är densamma och inte minskar i antal, dvs att jag räknar ut svaret för a) uppgiften.
Om du tittar på vilka händelser som kan förekomma om du plockar två kulor så är det RR, RV, VR och VV. När man använder återlägg så är sannolikheten lika för R i första och andra dragningen lika, och detsamma gäller V. För V är den 5/9 och för R 4/9. Sannolikheten för dessa är 16/81(RR), 20/81(RV), 20/81(VR) och 25/81(VV). Notera att summan av dessa är 81/81, dvs alla händelser är med. De fall som utgör klassen "kulor med samma färg" är RR och VV, så deras sammanlagda förekomst är 41/81. Det här säger nästan ingenting om vad jag menade med intuitionen, men givet att ungefär hälften är röda och vita vardera så kan man säga att i första draget får man någon färg med 100% sannolikhet, och sannolikheten att få en annan färg i andra draget är ungefär 50 -- 4/9 eller 5/9, och om man medelvärdesbildar över flera dragningar så borde svaret då hamna mellan 44% och 55%, alltså ungefär hälften. Det är det min intuition säger. I praktiken behöver man bara räkna ihop RR och VV så har man svaret. För b är det sannolikheten för RV 20/72 och för VR 20/72. För RR blir det (utan återläggning) 12/72 och för VV 20/72. Notera att summan blir 100% även här.
Du har alltså att jämföra 41/81 med 40/72.
Om något så tycker jag att 12/72 (en sjättedel) för att få upp två röda är mycket lägre än jag skulle ha gissat.
PeBo skrev :Om du tittar på vilka händelser som kan förekomma om du plockar två kulor så är det RR, RV, VR och VV. När man använder återlägg så är sannolikheten lika för R i första och andra dragningen lika, och detsamma gäller V. För V är den 5/9 och för R 4/9. Sannolikheten för dessa är 16/81(RR), 20/81(RV), 20/81(VR) och 25/81(VV). Notera att summan av dessa är 81/81, dvs alla händelser är med. De fall som utgör klassen "kulor med samma färg" är RR och VV, så deras sammanlagda förekomst är 41/81. Det här säger nästan ingenting om vad jag menade med intuitionen,
Okej!
men givet att ungefär hälften är röda och vita vardera så kan man säga att i första draget får man någon färg med 100% sannolikhet, och sannolikheten att få en annan färg i andra draget är ungefär 50 -- 4/9 eller 5/9, och om man medelvärdesbildar över flera dragningar så borde svaret då hamna mellan 44% och 55%, alltså ungefär hälften.
Förstår inte hur du räknade här, vad är ''medelvärdesbildar''? Borde inte att få rött under första plocket vara 4/9 och vitt under första plocket 5/9?
Det är det min intuition säger. I praktiken behöver man bara räkna ihop RR och VV så har man svaret. För b är det sannolikheten för RV 20/72 och för VR 20/72. För RR blir det (utan återläggning) 12/72 och för VV 20/72. Notera att summan blir 100% även här.
Du har alltså att jämföra 41/81 med 40/72.
För b är det 5/9*4/8 + 4/9*5/8?
Alltså ska vi inte räkna med att man under andra plocket kan få två olika utfall för b uppgiften? och inte endast RV? För jag tänker att man under andra plocket ska ta hänsyn till kulorna med samma färg vilket är VV och RR, tillsammans med VR och RV?
Om något så tycker jag att 12/72 (en sjättedel) för att få upp två röda är mycket lägre än jag skulle ha gissat.
Det där med medelvärdet (medelvärdesbildning): Om du står där ett tag och drar kulor och gör anteckningar så kommer du att se att för varje gång du drar en vit först (och sen lägger tillbaka den) så är chansen (av uppenbara skäl) för en röd efter det 4/9, och för varje gång du drar en röd först så är chansen för en vit efter det 5/9. Om det var exakt lika vanligt att du började med en vit som en röd kula (säg att du har en maskin som är lite skum så den plockar första kulan åt dig med lika chans för röd och vit) så skulle chansen att du får olika kulor vara 1/2*(4/9+5/9) -- en sorts medel. Men eftersom du har lite större chans att få upp en vit än en röd första kula så blir det 1/9*(5*4/9 + 4*5/9), alltså ett viktat medelvärde. Den fetstilade siffran kommer från det första draget du gör. Andelen par med olika kulor är alltså ett viktat medelvärde av sannolikheten att dra den andra kulan med annan färg än den första. Det är precis som du beskriver det att chansen att få vitt eller rött under första plocket är lite olika, men min poäng -- det handlar om den där intuitionen som jag pratade om -- är att svaret borde rimligen vara nära 1/2.
För b, eftersom du inte gör något återlägg så blir siffrorna som du säger. Du ska ju inte räkna in chansen för RR i chansen för RV etc. Du kan, som jag gjorde, räkna komplementhändelserna för att göra en koll på att du har räknat rätt.
