Sannolikhet

Jag har den här frågan:

I ett lotteri kan man köpa lotter för 120 kr/st. Man kan vinna 1000000 kr. Det är vinst på 1 av 10000 lotter. Du bestämmer dig för att köpa 1 lott i veckan under ett ̊ar (52 veckor). Låt Xi vara den slumpvariabel som beskriver vinsten vecka i och låt Yi=Xi−120 beskriva förtjänsten vecka i, d.v.s. vinsten minus lottpriset.

(b) Beräkna den förväntade förtjänsten för en given vecka i.

(d) Beräkna variansen och standardavvikelsen för den sammanlagda förtjänsten under året.

Jag antar att den förväntade förtjänsten blir E[Yi] och att detta blir -20 för att man sätter E[Xi] = (0,0001 * 1000000) = 100 detta då jag antar att Xi är Binomialfördelad enligt Bin(1, 0,0001) och att man tar detta gånger en miljon för annars får man ju inte vinsten.

Sen i c gör jag summan av alla väntvärden vilket då blir 52 * -20 = -1040

I d kör jag att variansen blir summan av alla varianser av Yi och då V[Yi] = V[Xi -120] = V[Xi] så blir detta variansen av Xi vilket är ca 0,0052 som man sedan tar gånger 52 och får ca 0,27

sedan för att få standardavvikelsen tar man ju bara roten ur.

Känns det här korrekt eller är jag helt ute på fel spår, det jag är mest osäker på är hur man inkorporerar miljonen och det här var det ända sättet jag kunde tänka mig att man kunde göra det.

Låt oss bryta ned det på följande sätt. Xi=1000000 med sannolikhet 1/10000, och Xi=0 med sannolikhet 1-1/10000. Yi är Xi-120. Då har du helt rätt i att E[Yi]=E[Xi-120]=E[Xi]-120. För att beräkna väntevärdet använder vi oss av

$\sum_x x\mathrm{P}(X_i=x) = 0*(1-1/10000) + 1000000*1/10000 = 100$ . Det är precis det du kommit fram till, men jag är inte riktigt med på din motivering. Att säga att Xi är Binomial-fördelad är inte korrekt. En Binomial-fördelning är hur många lyckade försök man får när man utför när man gör n stycken Bernoulli-försök. Så exempelvis antalet vinster på n dagar skulle kunna modelleras som en Binomial-fördelning. I alla fall, E[Yi]=-20.

Sedan har du kommit fram till att E[Y] = 52*(-20) och det stämmer bra.

Variansen kommer blir V[Y]=52*V[Yi]=52*V[Xi-120]=52*V[Xi]. Man kan räkna ut V[Xi] som ett väntevärde:

$\mathbb{V}[X_i]=\mathbb{E}[(Xi-\mathbb{E}[X_i])^2]$ . Eftersom E[Xi]=100 kan vi räkna det som

$\sum_x (x-100)^2\mathrm{P}(X_i=x) = (0-100)^2*(1-1/10000)+(1000000-100)^2*1/10000=99990000$

V[Y]=V[Xi] = 52*99990000=5199480000 $\mathrm{kr}^2$ och precis som du säger, standardavvikelsen är roten ur variansen.

Okej, jag ser vad jag gjorde fel och fattar varför. Tack så hemskt mycket.

Svara