Sammansatta funktioner
Låt oss börja med att definiera f:ℝ→[2,∞[ enligt f(x)=sin(πx)/2+6 , och g:ℝ→ℝ enligt g(x)=−2x/3 . I den här inlämningsuppgiften ska vi studera den sammansatta funktionen h av f och g , vilken uppfyller h(x)=f(g(x)) för alla x i dess definitionsmängd.
a) Ge uttrycket för h(x).
b) Beräkna h(3), h(4) och h(5). Ditt svar ska inte innehålla någon sinus- eller cosinusfunktion och ska inte vara på decimalform.
c) Skriv ut definitionsmängden och målmängden för hℎ.
d) Bestäm värdemängden för hℎ.
e) Är h(x) en injektiv funktion? Om ja, ge ett bevis; om nej, ge ett motexempel.
f) Är h(x) en surjektiv funktion? Om ja, ge ett bevis; om nej, ge ett motexempel.
Jag förstår inte fråga c och d.
Mina svar.
C. Definitionsmängden för h(x) är samma som definitionsmängden för g(x). Pågrund av att g(x) är en insats i f(x) och hela reella talplanet är g(x) definitionsmängd blir h(x) definitionsmängd de hela reella talplanet. H(x) är en sammansättning av f(x) och g(x) och f(x) är en insats av g(x). G(x) har hela de ℝ som målmängd, vilket gör att g(x) inte påverkar målmängden. Därför kommer målmängden vara för h(x) vara samma som f(x). Målmängden för h(x) är därför {2,∞} .
D. Ett sinus värde är −1≤y≤1 . h(x)=−sin(2xπ/3)/2+6 h(x)=−(1/2)+6=(11/2) h(x)=(1/2)+6=(13/2) h värdemängd är {11/2, 13/2} . x värden i uttrcyket = sin(2xπ/3) ger ett sinus värde från −1≤y≤1 . Det betyder att de i funktionen att alla x värder kommer att resultera i värden mellan {11/2, 13/2} .
Jag får fel när jag svarar detta och förstår inte varför.
Rent räknemässigt ser jag vid en hastig översikt inga större fel. Ditt inlägg väcker emellertid en del frågor:
1. Vi har h väldefinierad i texten, men vad är hh för något?
2. Vilken definition har du på ”Målmängd”?
3. På c skriver du först att g är en ”insats” i f, men längre ner att f är en insats i g. Vad menar du med ”insats”?
4. Vilka synpunkter har den som rättat anfört ang ditt svar på c och d?
Hej,
1. Hh är fel utan det ska endast stå H. Det kom med när man kopierade frågan.
2. Min målmängds definition är {2,∞} , Vilket är alla reella tal från 2 till oändligheten.
3. Jag försöker förklara vad en sammansatt funktion med orden insats, men ser nu att jag behöver fixa till det.
4. Läraren svarade såhär på mina svar:
C: Motiveringen för målmängden brister. Mängden du skrivit på slutet är felaktig.
D: Mängden du skrivit på slutet är felaktig. Motivera att alla tal i värdemängden faktiskt antas av funktionen.
Tomten skrev:Rent räknemässigt ser jag vid en hastig översikt inga större fel. Ditt inlägg väcker emellertid en del frågor:
1. Vi har h väldefinierad i texten, men vad är hh för något?2. Vilken definition har du på ”Målmängd”?
3. På c skriver du först att g är en ”insats” i f, men längre ner att f är en insats i g. Vad menar du med ”insats”?
4. Vilka synpunkter har den som rättat anfört ang ditt svar på c och d?
Hej,
1. Hh är fel utan det ska endast stå H. Det kom med när man kopierade frågan.
2. Min målmängds definition är {2,∞} , Vilket är alla reella tal från 2 till oändligheten.
3. Jag försöker förklara vad en sammansatt funktion med orden insats, men ser nu att jag behöver fixa till det.
4. Läraren svarade såhär på mina svar:
C: Motiveringen för målmängden brister. Mängden du skrivit på slutet är felaktig.
D: Mängden du skrivit på slutet är felaktig. Motivera att alla tal i värdemängden faktiskt antas av funktionen.
OK
På d består mängden du skrivit endast av de två talen. Det är alltså inget intervall. På c består mängden du skrivit av ett tal och ett objekt som inte tillhör R.
Tomten skrev:OK
På d består mängden du skrivit endast av de två talen. Det är alltså inget intervall. På c består mängden du skrivit av ett tal och ett objekt som inte tillhör R.
Om jag ändrar värdemängden till ett intervall blir det rätt då?
Sen målmängden har jag ingen aning hur jag ska ändra. Finns det något jag kan tänka på för att få mig på rätt spår?
Min mobil är inget bra verktyg för att skriva mängdlära men jag gör ändå ett försök. Utgångspunkten är beteckningen f: A—->B. Den vanligaste betydelsen är att f ska avbilda VARJE element i A IN I B. Då är B målmängden och A definitionsmängden. Värdemängden V är mängden av A:s bilder under fknen f. I allmänhet är V en delmängd av B. Om A=B kallas f för surjektiv. Man säger då att f avbildar A PÅ B. (jfr franskans sur = på). Om alla element i A avbildas på OLIKA element i B så är f injektiv. Om f både är injektiv och surjektiv kallas den bijektiv. Nu till din sammansatta fkn. Du har h(x) =f(g(x)) och söker först Dh och målmängden för h som vi kan kalla för Mh och sedan i d värdemängden för h.
Dg=R och värdemängden Vg=R. Vidare är Df= R. Således är Vg=Df varav följer Dh=R och Mh = Mf = [2, oändl[
Vh Värdemängden för h finner jag korrekt uträknad men fel presenterad. Ska stå [11/2, 13/2]
Notera att Mh INTE är lika med Vh..
