Sammansatta funktioner

Hej!

Satsen säger detta: Om funktionen $f$ är kontinuerlig i punkten $a$ och funktionen $g$ är kontinuerlig i punkten $f(a)$ så är den sammansatta funktionen $g\circ f$ kontinuerlig i punkten $a.$

Du vet inte om funktionen $g$ är kontinuerlig i punkten $a$, det kanske till och med är så att punkten $a$ ligger inte i funktionens $g$ definitionsmängd utan i en helt annan mängd. Tänk på att $f: A \to B$ och $g: B \to C,$ så att $g\circ f : A \to C;$ det är inte säkert att $A = B.$

Albiki

Jag förstår nog inte ännu riktigt...

Kan du ge något exempel så att saken bli klarare?

Låt f(x) = 1/(x + 1) och g(x) = x - 1. Vad gäller då?

Kan ju också förtydliga, 1/x är inte diskontinuerlig i origio, utan odefinierad där, men kan du modifiera f(x) så att den sammansättningen fortfarande är definierad i origo men den är diskontinuerlig där.

Jag sätter

$f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}, g\left(x\right)=x-1, f\circ g\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Nu är både f(x) och g(x) kontinuerliga i x=0, men inte $f\circ g\left(x\right)$. Detta bryter dock inte mot satsen som Albiki gav, eftersom f(x) är diskontinuerlig i f(g(0)), vilket strider mot en av premisserna i satsen för att den sammansatta funktionen skall vara kontinuerlig.

Stämmer detta resonemang?

Resonemanget stämmer väl ungefär. Jag skulle däremot invända mot att använda Albikis version av satsen, utan du ska använda den formulering som är i uppgiften.

Problemet är att när man säger att f och g är kontinuerlig, så menar man att dem är det över hela deras domän. Så premissen som bryts för exempelvis

$f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{ll}0& då x < 1\\ 1& då x \ge 1\end{array}\right.$

skulle vara att f inte kan sägas vara kontinuerlig, även om den är det i just origo.

Ok. Tack ska ni ha för hjälpen!

Korvgubben skrev :

Jag sätter

$f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}, g\left(x\right)=x-1, f\circ g\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Nu är både f(x) och g(x) kontinuerliga i x=0, men inte $f\circ g\left(x\right)$. Detta bryter dock inte mot satsen som Albiki gav, eftersom f(x) är diskontinuerlig i f(g(0)), vilket strider mot en av premisserna i satsen för att den sammansatta funktionen skall vara kontinuerlig.

Stämmer detta resonemang?

Har samma uppgift.. Innebär alltså kontinuerlig i origo inte att funktionen måste gå igenom origo utan det räcker med att den är kontinuerlig i origos x-koordinat dvs, x=0? 

Ja det är korrekt att den inte behöver gå igenom punkten (0, 0) utan den ska vara kontinuerlig för x = 0.

Sen så ser jag att jag slarvade lite när jag föreslog senaste f:et, om man ändrar så att g(x) = x + 1 så fungerar det f:et jag föreslog.