Sammansatta funktioner

Hur bestämmer man derivatan för

$f (x) = {(\frac{1}{\sqrt{x} + x})}^{4}$ ?

Jag började såhär:

$z = g (x) = \sqrt{x} + x a = f (z) = \frac{1}{z} f (a) = a^{4} f ´ (x) = f ´ (g ´ (f ´ (z))) \times g ´ (f ´ (z)) \times f ´ (z) = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 1) \times - \frac{1}{{(\sqrt{x} + x)}^{2}} \times {(\frac{4}{(\sqrt{x} + x)})}^{3} = (- \frac{1}{2 \sqrt{x} {(\sqrt{x} + x)}^{2}} - \frac{1}{{(\sqrt{x} + x)}^{2}}) \times {(\frac{4}{(\sqrt{x} + x)})}^{3}$

1. Delar in uttrycket i deluttryck för att göra 3 sammansatta funktioner

2. använder kedjereglen

3. deriverar och sätter in alla uttryck med avseende på x

4. multiplicerar in den andra faktorn med de första termerna i den första parentesen

Sedan blir uttrycket bara längre och längre och jag tror jag gör fel, jag kommer inte längre

Du kan inte låta f stå för tre olika funktioner.

Du kan börja med att skriva om bråkuttrycket i parentesen, då du vet att $\frac{1}{\sqrt{x} + x} = {(\sqrt{x + x})}^{- 1}$
Och sedan använder du potensregler för att få en exponent för uttrycket
Därefter blir det enklare att derivera genom att bl a använda derivata för en sammansatt funktion

Laguna skrev:
Du kan inte låta f stå för tre olika funktioner.

ok vrf

Henning skrev:
Du kan börja med att skriva om bråkuttrycket i parentesen, då du vet att $\frac{1}{\sqrt{x} + x} = {(\sqrt{x + x})}^{- 1}$
Och sedan använder du potensregler för att få en exponent för uttrycket
Därefter blir det enklare att derivera genom att bl a använda derivata för en sammansatt funktion

Det blev ett fel i det inverterade uttrycket ser jag nu. Det ska vara $\frac{1}{\sqrt{x} + x} = {(\sqrt{x} + x)}^{- 1}$

Ok skriver om det andra likhetstecknet efter de sista variabeluttrycken:

$= ((2 \sqrt{x} {(\sqrt{x} + x)}^{2})^{- 1} - ({(\sqrt{x} + x)}^{2})^{- 1} \times ({(\sqrt{x} + x)}^{- 4})^{3} = ((2 \sqrt{x} {(\sqrt{x} + x)}^{2})^{- 1} - ({(\sqrt{x} + x)}^{- 2}) \times {(\sqrt{x} + x)}^{- 12} = ((2 \sqrt{x} {(\sqrt{x} + x)}^{3})^{- 13} - {(\sqrt{x} + x)}^{- 14}$

1. Skriver om alla uttryck med potenser

2. Multiplicerar ihop den andra och tredje faktorerns potenser

3. Multiplicerar in den tredje faktorn med de andra första två termerna

Hur gör man nu?

Jag har svårt att följa dina beräkningar - tror inte att de är rätt
Men enligt mitt förslag har du nu funktionen skriven enligt: f(x)= ${(\frac{1}{\sqrt{x} + x})}^{4} = {{((\sqrt{x} + x)}^{- 1})}^{4} = {(\sqrt{x} + x)}^{- 4}$

Detta sista uttryck är enklare att derivera. Vad får du här?

Ditt uttryck i nedersta raden av ditt första inlägg är nästan rätt, dvs det vänstra efter likhetstecknet förutom att siffran 4 i sista parentesen (med exponenten 3) inte ska stå inne i parentesen utan som en faktor framför denna.
Men detta uttryck kan förenklas i några steg

tack nu löste jag det!

Svara

Visa senaste svar