Sammansatta funktioner

Ja precis, varje förekomst av x i f(x) byts ut mot g(x). (nu går det ju att förenkla lite om man vill, men den sammansatta funktionen är korrekt). 

Vad bra! $Hur går jag tillväga för att bestämma definitionsmängden, målmängden och värdemängden för h\left(x\right) ?$ 

Finns det några värden på x som inte fungerar att stoppa in i funktionen?

Vilka värden kan funktionen cos(vadsomhelst) anta?

Vilka värden kan funktionen 0,2*cos(vadsomhelst) anta?

Vilka värden kan funktionen 0,2*cos(vadsomhelst) - 7 anta?

Jättestort tack, jag har löst allting men har nu fastnat på sista delen som hamnar om surjektiv och injektiv.

$$\begin{gathered} \mathrm{Är} h \mathrm{en} \mathrm{injektiv} \mathrm{funktion}? \mathrm{Om} \mathrm{ja}, \mathrm{ge} \mathrm{ett} \mathrm{bevis}; \mathrm{om} \mathrm{nej}, \mathrm{ge} \mathrm{ett} \mathrm{motexempel}. \\ \mathrm{Är} h \mathrm{en} \mathrm{surjektiv} \mathrm{funktion}? \mathrm{Motivera} \mathrm{ditt} \mathrm{svar} \mathrm{med} \mathrm{ett} \mathrm{bevis}. \end{gathered}$$

Kan ni ge mig lite ytterligare vägledning möjligen? 

Kan du förklara (helst med egna ord) vad surjektiv och injektiv betyder?

En funktion som går från f: A -> B är injektiv om för varje element i målmängden har högst ett element i definitionsmängden sådan att f(a)=b

En funktion som går från f: A -> B är surjektiv om varje element i målmängden har minst ett element i definitionsmängden sådan att f(a)=b

För mig blir det mycket abstrakt och vet inte riktigt hur jag ska gå tillväga hur jag undersöker detta för h(x). 

När jag testar följande:

h(1) = -7
h(2) = $-\frac{36}{5}$
h(3) = -7

h(4) = $-\frac{36}{5}$
h(5) = -7

h(6) = $-\frac{36}{5}$

Kan jag uppenbarligen se att olika värden får samma image, den är alltså inte injektiv?
f: A -> B är inte injektiv. Vad menar de dock med motexempel? Ska jag komma på en egen funktion som är injektiv?

Bortsett från detta begriper jag inte hur jag ska göra för att se om den är surjektiv.. 

Man skulle kunna säga om en injektiv funktion att"om man vet b, så är det ingen tvekan om vad a måste vara". (Slarvigt uttryckt. Det kanske inte finns något motsvarande a)

Känns det mer begripligt, även om det är lite slarvigt uttryckt? Kan du formulera något liknande för surjektiva funktioner?

Kan jag dra slutsatsen att h(x) inte är surjektiv eftersom att varje element i målmängden har mer än ett element i definitionsmängden sådan att f(a)=b snarare än minst ett? Detta med avseende till mitt tidigare svar. 

Hade gärna uppskattat lite hjälp om ni hade tid. Utöver min senaste post har jag fortfarande problem med definitionsmängden och värdemängden.. Jag har förstått att det är en cosinusfunktion med definitionsmängd som rör sig mellan intervallet [-∞,∞]. Det finns inga x-värden som inte är möjliga. Men hur kan jag mer noggrant och precist förklarar det matematiskt? 

Definitionsmängden är [-∞,∞]. Det är både noggrannt och precist.

Vilken är värdemängden? (Vilket är det största värde funktionen kan anta? Vilket är det minsta värde funktionen kan anta? Finns det några värden däremellan som funktionen inte kan anta?)

Hej!

Palmstierna har begått ett fundamentalt fel i sin ursprungliga post: Det står inget om vare sig definitionsmängder eller målmängder till de två funktionerna f och g. 

Det verkar som att Palmstierna inte vet att en funktion specificeras av tre saker: En definitionsmängd (X), en målmängd (Y) och en regel (f) som parar ihop varje element (x) i definitionsmängden med ett (och endast ett) element (y) i målmängden. 

I och för sig har Albiki rätt (som vanligt), men på gymnasienivå är det rätt vanligt att man inte är tillräckligt noga med definitionsmängder.

Man förutsätter t.ex. rätt ofta att funktionen s(x) = 1/(x-3) är definierad för alla reella x utom x=3. Egentligen behöver man tala om väldigt tydligt att man i så fall definierar s(x) för alla x utom x=3.

Om man är lika slarvig i den här uppgiften som man brukar vara på gymnasienivå, så kan man utgå från att både f(x) och g(x) är definierade för alla reella x.

Bubo skrev:

I och för sig har Albiki rätt (som vanligt), men på gymnasienivå är det rätt vanligt att man inte är tillräckligt noga med definitionsmängder.

Man förutsätter t.ex. rätt ofta att funktionen s(x) = 1/(x-3) är definierad för alla reella x utom x=3. Egentligen behöver man tala om väldigt tydligt att man i så fall definierar s(x) för alla x utom x=3.

Om man är lika slarvig i den här uppgiften som man brukar vara på gymnasienivå, så kan man utgå från att både f(x) och g(x) är definierade för alla reella x.

 Om man vill bestämma definitionsmängd, målmängd och värdemängd för den sammansatta funktionen $f \circ g$ så får man inte slarva med definitionsmängder, målmängder eller värdemängder. Samma sak gäller om man vill bestämma huruvida en funktion är injektiv eller surjektiv.

Tack för era svar, det uppskattas verkligen. Jag har greppat mer i detalj vad definitionsmängd och värdemängd är. Definitionsmängden är det som jag kan föra in i ekvationen (input- värdena) och värdemängden är outputen helt enkelt. Hursomhelst när jag identifierat definitionsmängden och vet att det är mellan [-∞,∞] tänkte jag att jag kan använda det för att ta reda på värdemängden. Jag beräknar således h(1)=-7 h(-1000) = -34/5 h(1000) = -34/5 och vet att y-värdena pendlar mellan detta intervall bland annat. Jag tänkte skriva att värdemängden är mellan -6,8 (34/5) och -7.0. Sedan testade jag dock att applicera ett annat värde av slump h(999,5)= -7,14142. Plötsligt är värdemängden jag tidigare antagit fel. Hur ska jag identifiera vilket input värde som ger lägst respektive högst output när det handlar om små tal med decimaler? 

Hej!

Om $G : A \to B$ och $F : C \to D$ så är sammansättningen $F \circ G: A \to D$ definierad om

    $B \subseteq C$.

Sammansättningen $G \circ F : C \to B$ är definierad om

    $D \subseteq A$.

Jag försöker förstå men begriper inte riktigt, vill du förtydliga? Hur jag ska kunna hitta vilket input värde som genererar lägst respektive högst output? Ursäkta att jag inte riktigt hänger med. När jag försöker hitta värden från f(x) får jag följande: f(1) = -36/5 samt f(2) = -36/5. Men g(x) är går mot oändligheten. Jag har svårt att få ihop pusselbitarna, vad säger detta mig om h(x) ?

Smaragdalena skrev:

Vilka värden kan funktionen cos(vadsomhelst) anta?

Vilka värden kan funktionen 0,2*cos(vadsomhelst) anta?

Vilka värden kan funktionen 0,2*cos(vadsomhelst) - 7 anta?

palmstierna skrev:

 Definitionsmängden är det som jag kan föra in i ekvationen (input- värdena)

Jo, men vem bestämmer det? Som Albiki påpekar så måste man tala om det tydligt. Den som definierar funktionen måste vara tydlig med vilka värden man får ha som input. Man får helt enkelt inte lov att göra "som man brukar" och tro att allt utom det uppenbart orimliga är tillåten input. (I gymnasiematematik gör man ofta "som man brukar", och då blir det som du har skrivit)

och värdemängden är outputen helt enkelt.

Ja.

Smaragdalena skrev:

Smaragdalena skrev:

Vilka värden kan funktionen cos(vadsomhelst) anta?

Vilka värden kan funktionen 0,2*cos(vadsomhelst) anta?

Vilka värden kan funktionen 0,2*cos(vadsomhelst) - 7 anta?

 cos(vadsomhelst) kan anta värden inom intervallet [-1,1]
1/5cos(vadsomhelst) kan anta värden inom intervallet [$-\frac{1}{5},\frac{1}{5}$]

o,2cos(vadsomhelst)-7 kan anta värden inom intervallet. $[-\frac{36}{5},-\frac{34}{5}]$ efter man ligger till -7 och löser olikheten. Vilket blir min värdemängd! Tack! Därutöver fick jag även som sagt min definitionsmängd till [-∞,∞].

$$\begin{gathered} \mathrm{Hursomhelst} \mathrm{säger} \mathrm{dem} \mathrm{något} i \mathrm{stil} \mathrm{med} \mathrm{att} \mathrm{jag} \mathrm{har} \mathrm{rätt} \mathrm{värdemängd} i \mathrm{förhållande} \mathrm{till} \min \mathrm{definitionsmängd}, \\ \mathrm{men} \mathrm{när} \mathrm{jag} \mathrm{har} \mathrm{hittat} \mathrm{rätt} \mathrm{definitionsmängd} \mathrm{behöver} \mathrm{jag} \mathrm{ta} \mathrm{hänsyn} \mathrm{till} \mathrm{den} i \mathrm{svaret} om \min \mathrm{värdemängd}? \\ \mathrm{Jag} \mathrm{har} \mathrm{ju} \mathrm{hittat} \mathrm{rätt} \mathrm{definitionsmängd} \mathrm{och} \mathrm{värdemängd} \mathrm{nu}?! \end{gathered}$$

Det är eventuellt viktigt att uppge att de skriver frågan som följande:

$$\begin{gathered} \mathrm{Låt} \mathrm{oss} b\mathrm{örja} \mathrm{med} a\mathrm{tt} \mathrm{definiera} f: Q \to \mathrm{ℝ} enligt f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{5}\cos \left(\mathrm{\pi x}\right)-7 \\ \mathrm{och} \mathrm{g}:\hspace{0.17em}\mathrm{\mathbb{N}} \to \mathrm{\mathbb{Q}} \mathrm{enligt} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{5\mathrm{x}}{2} \end{gathered}$$

Jag är väldigt ny på det här och ber om ursäkt för detta.. 


Blir intervallet för definitionsmängden i så fall [0, ∞)
Och intervallet för värdemängden [$-\frac{36}{5},-\frac{34}{5}$]   ? 

palmstierna skrev:

Det är eventuellt viktigt att uppge att de skriver frågan som följande:

$$\begin{gathered} \mathrm{Låt} \mathrm{oss} b\mathrm{örja} \mathrm{med} a\mathrm{tt} \mathrm{definiera} f: Q \to \mathrm{ℝ} enligt f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{5}\cos \left(\mathrm{\pi x}\right)-7 \\ \mathrm{och} \mathrm{g}:\hspace{0.17em}\mathrm{\mathbb{N}} \to \mathrm{\mathbb{Q}} \mathrm{enligt} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{5\mathrm{x}}{2} \end{gathered}$$

Jag är väldigt ny på det här och ber om ursäkt för detta.. 


Blir intervallet för definitionsmängden i så fall [0, ∞)
Och intervallet för värdemängden [$-\frac{36}{5},-\frac{34}{5}$]   ? 

 Det är inte ''eventuellt viktigt'' att x ska vara ett rationellt tal i f(x) och att y ska vara ett naturligt tal i g(y); det är förbannat viktigt!

Du behöver läsa på om vad en funktion är, speciellt vad definitionsmängd och värdemängd är. Det finns inget som heter ''intervall för definitionsmängd'' eller ''intervall för värdemängd''; definitionsmängd kan ibland vara ett intervall och värdemängd kan ibland vara ett intervall.

palmstierna skrev:

Det är eventuellt viktigt att uppge att de skriver frågan som följande:

$$\begin{gathered} \mathrm{Låt} \mathrm{oss} b\mathrm{örja} \mathrm{med} a\mathrm{tt} \mathrm{definiera} f: Q \to \mathrm{ℝ} enligt f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{5}\cos \left(\mathrm{\pi x}\right)-7 \\ \mathrm{och} \mathrm{g}:\hspace{0.17em}\mathrm{\mathbb{N}} \to \mathrm{\mathbb{Q}} \mathrm{enligt} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{5\mathrm{x}}{2} \end{gathered}$$

Jag är väldigt ny på det här och ber om ursäkt för detta.. 


Blir intervallet för definitionsmängden i så fall [0, ∞)
Och intervallet för värdemängden [$-\frac{36}{5},-\frac{34}{5}$]   ? 

 Är det här verkligen en fråga på Ma4-nivå? Formuleringen av frågan tyder mer på att det är en universitetsfråga, och om du hade lagt frågan på rätt nivå från början hade du fått bättre svar, eftersom vi inte skulle ha trott att vi skulle svara på Ma4-nivå.

Jag är medveten om att det var viktigt och hade av misstag inte lagt märke till detta, jag är ganska ny på detta som sagt. Värdenmängden blir då [−36/5,−34/5] men blir definitionsmängden [0,∞) ? 

Smaragdalena skrev:

palmstierna skrev:

Det är eventuellt viktigt att uppge att de skriver frågan som följande:

$$\begin{gathered} \mathrm{Låt} \mathrm{oss} b\mathrm{örja} \mathrm{med} a\mathrm{tt} \mathrm{definiera} f: Q \to \mathrm{ℝ} enligt f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{5}\cos \left(\mathrm{\pi x}\right)-7 \\ \mathrm{och} \mathrm{g}:\hspace{0.17em}\mathrm{\mathbb{N}} \to \mathrm{\mathbb{Q}} \mathrm{enligt} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{5\mathrm{x}}{2} \end{gathered}$$

Jag är väldigt ny på det här och ber om ursäkt för detta.. 


Blir intervallet för definitionsmängden i så fall [0, ∞)
Och intervallet för värdemängden [$-\frac{36}{5},-\frac{34}{5}$]   ? 

 Är det här verkligen en fråga på Ma4-nivå? Formuleringen av frågan tyder mer på att det är en universitetsfråga, och om du hade lagt frågan på rätt nivå från början hade du fått bättre svar, eftersom vi inte skulle ha trott att vi skulle svara på Ma4-nivå.

 Hej,

Jag har fick den ifrån en gymnasielärare så det faller inom gymnasieutbildning men är enligt honom lite "överkurs".