Sammanfatta formler

Antingen kan du rita i en enhetscirkel och se vinklarna, eller skriva ut värdena för några n.

Bubo skrev:

Antingen kan du rita i en enhetscirkel och se vinklarna, eller skriva ut värdena för några n.

Jag kollade med enhetscirkeln,

Men hur ska jag veta när man ska sammanfatta de och kunna avgöra det? Det kommer med träning ja, men kan man ha som tumregel att om man ser 0⁰, 90⁰, 180⁰, 270⁰, 360⁰ så bör man kunna göra det? 

Om vi ignorerar att vi känner igen flera av de här talen som gradtal, kan man då hitta en generell form för när två stycken lösningar kan kombineras till en, dvs. om lösningarna är

$\left\{\begin{array}{l}x=a+n*v\\ x=b+n*w\end{array}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right.$

kan man då få det på formen

$x=c+n*u, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$?

Om v och w är samma och ett möjligt x-värde från första lösningen också kan hittas med hjälp av andra lösningen så är det egentligen en och samma lösning så då går det.

Om v är en multipel av w eller vice versa och man på samma vis kan hitta ett tal mha båda lösningarna bör det också gå, och u blir den mindre periodiciteten.

Om differensen mellan a & b är olycklig så går det inte. Ta t.ex. att v=w=360, a=0 och b=1, då blir lösningarna 0, 1, 360, 361, 720, 721, osv. där finns inget sätt att sammanfatta det i en {x= c + n*u}-rad. Jämför med ovan där det fanns två rader med lösningar på inbördes avstånd på starttalet på hälften av perioden. Eller ta

x=1+n*4

x=3+n*4

där är inbördes avstånd hälften av perioden också och man kan sammanfatta det till

x= 1+n*2

Eller ta

x= 2+n*9

x= 5+n*9

x= 8+n*9

där finns det tre stycken lösningar och inbördes avstånd mellan lösningarna är en tredjedel av perioden, och detta kan skrivas som

x=2+n*3

Jag vet inte om det finns någon allmän formel, jag ser den inte framför mig, men jag tror den bästa lösningen är att skriva upp några tal från de olika lösningarnas formler och se efter om man ser något mönster som kan sammanfattas på enklare vis.