Samma dubbelintegral, 2 olika svar.

Här är min uppgift och lösning till en viss dubbelintegral (första gången jag löser en dubbelintegral):

Problemet är dock att det verkar som att $x (e^{2} - e)$ är fel svar. Min lärare säger att det rätta svaret till uppgiften är $e^{2}$ . Många av mina klasskamrater har också fått svaret $e^{2}$ . Dem har dock "switchat" från dxdy form till dydx (istället för $\int_{x}^{2 x} (\int_{1}^{2} e^{x} d x) d y$ så skriver dom det som $\int_{1}^{2} (\int_{x}^{2 x} e^{x} d y) d x$ ) och jag förstår inte riktigt anledningen... fattar inte heller hur man kan få 2 helt olika svar beroende på vilken form man skriver dubbelintegralen. Det är väl tekniskt sett exakt samma dubbelintegral? Var har jag tänkt fel?

Eftersom gränserna i y-led är funktioner av x så måste du integrera i y-led först. Du kan inte integrera i x-led med gränser som beror på x, tänk igenom varför.

För att undvika sådana fel kan man skriva från y=x till y=2x som gränser för dy-integralen och från x=1 till x=2 som gränser för dx-integralen.

Hej!

Integralen

$\displaystyle \iint_{D}e^x\,dxdy$

beräknas som en itererad integral.

Antingen som

$\displaystyle \int_{x=1}^{2}\left\{\int_{y=x}^{2x}e^x\,dy\right\}\,dx$

eller som

$\displaystyle \int_{y=1}^{4}\left\{\int_{x=y}^{y/2}e^x\,dx\right\}\,dy$ .

Albiki

Nej, Albiki, din andra variant är fel.

Henrik Eriksson skrev :
För att undvika sådana fel kan man skriva från y=x till y=2x som gränser för dy-integralen och från x=1 till x=2 som gränser för dx-integralen.

Det är väl vad jag har gjort... eller?

Nej, du har inget x= eller y= i gränserna.

Henrik Eriksson skrev :
Nej, du har inget x= eller y= i gränserna.

Förstår inte heller riktigt vad du menar, det är bara ett sätt att skriva för att förtydliga.

Just det! Om man inte skriver ut x= och y= är det oklart vad gränserna här betyder: $\int_0^1\int_2^3 x\, dx\, dy$

Hej Henrik,

Rita området, som du skall integrera över först. Resten blir enklare.

Henrik Eriksson skrev :
Just det! Om man inte skriver ut x= och y= är det oklart vad gränserna här betyder: $\int_0^1\int_2^3 x\, dx\, dy$

Det är en av anledningarna till att jag, och många fysiker/fysikerstudenter, skriver integraler så här:

$\int_0^1 dy \int_2^3 dx (x)$

Men det kan också vara lite oklart om gränserna för x beror av y. Och om man ska övergå till polära är det inte så bra att skriva det som integrerade enkelintegraler.

Svara

Visa senaste svar