Samlarproblemet

Hej,

Samlarproblemet - Kasta tills samtliga utfall, vid kast med en symmetrisk N-sidig tärning, har förekommit minst en gång.

X - Antalet kast innan samlarproblemet är löst

$X_{i} - A n t a l e t y t t e r l i g a r e k a s t, e f t e r a t t h a o b s e r v e r a t i - 1 u t f a l l f ö r f ö r s t a g å n g e n, s o m b e h ö v s f ö r a t t h a o b s e r v e r a t i u t f a l l f ö r f ö r s t a g å n g e n X = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}; X_{i} ~ f f g (1 - \frac{i - 1}{N}) o c h X_{i} ä r o b e r o e n d e E (X_{i}) = \frac{1}{1 - \frac{i - 1}{N}} = \frac{1}{\frac{N - (i - 1)}{N}} = \frac{N}{N + 1 - i} \to E (X) = E (\sum_{i = 1}^{N} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{N} E (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{N} \frac{N}{N + 1 - i} = N \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{N + 1 - i} E n l i g t f ö r e l ä s a r e n s a n t e c k n i n g a r h a r v i a t t : E (X) = N \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{N + 1 - i} = N \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{i}$

Jag förstår inte hur det absolut sista steget går till...

Skriv ut alla talen i summan explicit:

$\sum_1^N \frac{1}{N+1-i} = \frac{1}{N}+ \frac{1}{N-1} +... +\frac{1}{2}+1$

Som tomast80 skriver:

Två talserier som liknar varandra:

1: N, N-1,...2, 1
2: 1, 2,..N-1, N

Svara