10 svar
77 visningar
Jaghatarfysik behöver inte mer hjälp
Jaghatarfysik 115
Postad: 27 sep 10:34

sambandet mellan Linjärt oberoende och inverterbar

Jag har förstått till när de berättar att om egenvektorerna är linjärt oberoende så har dimension 2, (Ja jag förstår det). Men varför är den då inverterbar?

D4NIEL 2877
Postad: 27 sep 11:16 Redigerad: 27 sep 11:32

Det innebär till exempel för 2x2-matrisen AA att

  • De två kolonnerna är linjärt oberoende
  • Determinanten måste vara nollskilld
  • Matrisen har full rang
  • alla ekvationer på formen Ax=bAx=b har en icketrivial entydig lösning x=A-1bx=A^{-1}b
  • DImensionssatsen säger att värderummets dimension + nollrummets dimension = rank. I det här fallet är värderummets dimension 2 och inga dimensioner är kvar till nollrummet , se punkten ovan.
  • Matrisen representerar en bijektiv avbildning

Det vanligaste är nog att man lärt sig detA0 inverterbar\mathrm{det} A\neq 0\ \implies \mathrm{inverterbar}

Man kan också säga att matrisen är icke-singulär. En icke-singulär matris är inverterbar. En singulär matris är en matris där man kan uttrycka åtminstone en av kolonnerna som en linjärkombination av de övriga.

Jaghatarfysik 115
Postad: 27 sep 11:53 Redigerad: 27 sep 11:55
D4NIEL skrev:

Det innebär till exempel för 2x2-matrisen AA att

  • De två kolonnerna är linjärt oberoende
  • Determinanten måste vara nollskilld
  • Matrisen har full rang
  • alla ekvationer på formen Ax=bAx=b har en icketrivial entydig lösning x=A-1bx=A^{-1}b
  • DImensionssatsen säger att värderummets dimension + nollrummets dimension = rank. I det här fallet är värderummets dimension 2 och inga dimensioner är kvar till nollrummet , se punkten ovan.
  • Matrisen representerar en bijektiv avbildning

Det vanligaste är nog att man lärt sig detA0 inverterbar\mathrm{det} A\neq 0\ \implies \mathrm{inverterbar}

Man kan också säga att matrisen är icke-singulär. En icke-singulär matris är inverterbar. En singulär matris är en matris där man kan uttrycka åtminstone en av kolonnerna som en linjärkombination av de övriga.

jag vet ju inte om  det A0

Så om jag har en nXn matris, jag får n antal egenvärden och får n antal egenvektorer som alla är linjärt oberoende. Betyder det då att matrisen är inverterbar?

Vad händer om jag får m antal egenvärden och s antal egenvektorer. s<m<n

PATENTERAMERA 5931
Postad: 27 sep 12:01

En kvadratisk matris är inverterbar om alla egenvärden är skilda från 0. Detta är fallet här.

Jaghatarfysik 115
Postad: 27 sep 12:31 Redigerad: 27 sep 12:36
PATENTERAMERA skrev:

En kvadratisk matris är inverterbar om alla egenvärden är skilda från 0. Detta är fallet här.

Varför är det så?

PATENTERAMERA 5931
Postad: 27 sep 17:04

Enligt vad som skrivs i #2 så gäller det tex att A är inverterbar omm alla ekvationer på formen

Axb

har en entydig lösning. Obs det betyder speciellt att Ax = 0 bara har lösningen x = 0.

Antag att A är inverterbar och att noll är ett egenvärde till med tillhörande egenvektor v.

Det skulle då gälla att Av = 0v = 0. Men det motsäger det faktum att x = 0 är den enda lösningen till Ax = 0.

Således har vi visat att om A är inverterbar så är alla egenvärden skilda från 0.

Att visa omvändningen, dvs om noll inte är ett egenvärde så är A inverterbar, lämnas som övning. Tips: använd kontraposition - dvs visa att om A inte är inverterbar så är noll ett egenvärde.

Jaghatarfysik 115
Postad: 27 sep 17:15
PATENTERAMERA skrev:

Enligt vad som skrivs i #2 så gäller det tex att A är inverterbar omm alla ekvationer på formen

Axb

har en entydig lösning. Obs det betyder speciellt att Ax = 0 bara har lösningen x = 0.

Antag att A är inverterbar och att noll är ett egenvärde till med tillhörande egenvektor v.

Det skulle då gälla att Av = 0v = 0. Men det motsäger det faktum att x = 0 är den enda lösningen till Ax = 0.

Således har vi visat att om A är inverterbar så är alla egenvärden skilda från 0.

Att visa omvändningen, dvs om noll inte är ett egenvärde så är A inverterbar, lämnas som övning. Tips: använd kontraposition - dvs visa att om A inte är inverterbar så är noll ett egenvärde.

Okej! 

Då vet man från början av uppgiften A har en invers. Varför kollar man på bildrummet S? Vad har b1 och b2 med inversen att göra då?

PATENTERAMERA 5931
Postad: 27 sep 17:35 Redigerad: 27 sep 17:36

S kan ha som mest ha två egenvärden. De visar att S har egenvärden -2 och -6. Så alla egenvärden är skilda från noll och S är inverterbar.

Jaghatarfysik 115
Postad: 27 sep 17:42
PATENTERAMERA skrev:

S kan ha som mest ha två egenvärden. De visar att S har egenvärden -2 och -6. Så alla egenvärden är skilda från noll och S är inverterbar.

Är det rätt om jag säger de kollar vilka egenvärden S har. Ser att ingen är noll genom definitionen av egenvärden och egenvektor. Därmed ingen egenvärde noll -> S är inverterbar?

PATENTERAMERA 5931
Postad: 27 sep 18:00 Redigerad: 27 sep 18:01

De visar att b1 och b2 är egenvektorer med egenvärden -2 och -4. Eftersom S är 2 x 2 så vet vi att S kan ha som mest två egenvärden. -2 och -4 är således samtliga egenvärden till S, och 0 är därför inte ett egenvärde. S är därmed inverterbar.

Ett annat sätt att se det är att inse att S avbildar en bas på en bas.

Om en matris S avbildar en bas på en bas så är S inverterbar.

Dvs om b1 och b2 är en bas för R2 och om Sb1 och Sb2 också är en bas för R2 så innebär det att S är inverterbar.

D4NIEL 2877
Postad: 28 sep 10:43 Redigerad: 28 sep 11:09

Determinanten är produkten av egenvärdena, dvs detA=(-1)·(-2)=2\det A = (-1)\cdot (-2)=2

Alltså är determinanten nollskild, eftersom den är 22

Svara
Close