sambandet mellan Linjärt oberoende och inverterbar
Jag har förstått till när de berättar att om egenvektorerna är linjärt oberoende så har dimension 2, (Ja jag förstår det). Men varför är den då inverterbar?
Det innebär till exempel för 2x2-matrisen att
- De två kolonnerna är linjärt oberoende
- Determinanten måste vara nollskilld
- Matrisen har full rang
- alla ekvationer på formen har en icketrivial entydig lösning
- DImensionssatsen säger att värderummets dimension + nollrummets dimension = rank. I det här fallet är värderummets dimension 2 och inga dimensioner är kvar till nollrummet , se punkten ovan.
- Matrisen representerar en bijektiv avbildning
Det vanligaste är nog att man lärt sig
Man kan också säga att matrisen är icke-singulär. En icke-singulär matris är inverterbar. En singulär matris är en matris där man kan uttrycka åtminstone en av kolonnerna som en linjärkombination av de övriga.
D4NIEL skrev:Det innebär till exempel för 2x2-matrisen att
- De två kolonnerna är linjärt oberoende
- Determinanten måste vara nollskilld
- Matrisen har full rang
- alla ekvationer på formen har en icketrivial entydig lösning
- DImensionssatsen säger att värderummets dimension + nollrummets dimension = rank. I det här fallet är värderummets dimension 2 och inga dimensioner är kvar till nollrummet , se punkten ovan.
- Matrisen representerar en bijektiv avbildning
Det vanligaste är nog att man lärt sig
Man kan också säga att matrisen är icke-singulär. En icke-singulär matris är inverterbar. En singulär matris är en matris där man kan uttrycka åtminstone en av kolonnerna som en linjärkombination av de övriga.
jag vet ju inte om
Så om jag har en nXn matris, jag får n antal egenvärden och får n antal egenvektorer som alla är linjärt oberoende. Betyder det då att matrisen är inverterbar?
Vad händer om jag får m antal egenvärden och s antal egenvektorer. s<m<n
En kvadratisk matris är inverterbar om alla egenvärden är skilda från 0. Detta är fallet här.
PATENTERAMERA skrev:En kvadratisk matris är inverterbar om alla egenvärden är skilda från 0. Detta är fallet här.
Varför är det så?
Enligt vad som skrivs i #2 så gäller det tex att A är inverterbar omm alla ekvationer på formen
Ax = b
har en entydig lösning. Obs det betyder speciellt att Ax = 0 bara har lösningen x = 0.
Antag att A är inverterbar och att noll är ett egenvärde till med tillhörande egenvektor v.
Det skulle då gälla att Av = 0v = 0. Men det motsäger det faktum att x = 0 är den enda lösningen till Ax = 0.
Således har vi visat att om A är inverterbar så är alla egenvärden skilda från 0.
Att visa omvändningen, dvs om noll inte är ett egenvärde så är A inverterbar, lämnas som övning. Tips: använd kontraposition - dvs visa att om A inte är inverterbar så är noll ett egenvärde.
PATENTERAMERA skrev:Enligt vad som skrivs i #2 så gäller det tex att A är inverterbar omm alla ekvationer på formen
Ax = b
har en entydig lösning. Obs det betyder speciellt att Ax = 0 bara har lösningen x = 0.
Antag att A är inverterbar och att noll är ett egenvärde till med tillhörande egenvektor v.
Det skulle då gälla att Av = 0v = 0. Men det motsäger det faktum att x = 0 är den enda lösningen till Ax = 0.
Således har vi visat att om A är inverterbar så är alla egenvärden skilda från 0.
Att visa omvändningen, dvs om noll inte är ett egenvärde så är A inverterbar, lämnas som övning. Tips: använd kontraposition - dvs visa att om A inte är inverterbar så är noll ett egenvärde.
Okej!
Då vet man från början av uppgiften A har en invers. Varför kollar man på bildrummet S? Vad har b1 och b2 med inversen att göra då?
S kan ha som mest ha två egenvärden. De visar att S har egenvärden -2 och -6. Så alla egenvärden är skilda från noll och S är inverterbar.
PATENTERAMERA skrev:S kan ha som mest ha två egenvärden. De visar att S har egenvärden -2 och -6. Så alla egenvärden är skilda från noll och S är inverterbar.
Är det rätt om jag säger de kollar vilka egenvärden S har. Ser att ingen är noll genom definitionen av egenvärden och egenvektor. Därmed ingen egenvärde noll -> S är inverterbar?
De visar att b1 och b2 är egenvektorer med egenvärden -2 och -4. Eftersom S är 2 x 2 så vet vi att S kan ha som mest två egenvärden. -2 och -4 är således samtliga egenvärden till S, och 0 är därför inte ett egenvärde. S är därmed inverterbar.
Ett annat sätt att se det är att inse att S avbildar en bas på en bas.
Om en matris S avbildar en bas på en bas så är S inverterbar.
Dvs om b1 och b2 är en bas för R2 och om Sb1 och Sb2 också är en bas för R2 så innebär det att S är inverterbar.
Determinanten är produkten av egenvärdena, dvs
Alltså är determinanten nollskild, eftersom den är