sambandet mellan Linjärt oberoende och inverterbar (Matematik/Universitet)

Det innebär till exempel för 2x2-matrisen $A$ att

De två kolonnerna är linjärt oberoende
Determinanten måste vara nollskilld
Matrisen har full rang
alla ekvationer på formen $Ax=b$ har en icketrivial entydig lösning $x=A^{-1}b$
DImensionssatsen säger att värderummets dimension + nollrummets dimension = rank. I det här fallet är värderummets dimension 2 och inga dimensioner är kvar till nollrummet , se punkten ovan.
Matrisen representerar en bijektiv avbildning

Det vanligaste är nog att man lärt sig $\mathrm{det} A\neq 0\ \implies \mathrm{inverterbar}$

Man kan också säga att matrisen är icke-singulär. En icke-singulär matris är inverterbar. En singulär matris är en matris där man kan uttrycka åtminstone en av kolonnerna som en linjärkombination av de övriga.

D4NIEL skrev:
Det innebär till exempel för 2x2-matrisen $A$ att

De två kolonnerna är linjärt oberoende

Determinanten måste vara nollskilld

Matrisen har full rang

alla ekvationer på formen $Ax=b$ har en icketrivial entydig lösning $x=A^{-1}b$

DImensionssatsen säger att värderummets dimension + nollrummets dimension = rank. I det här fallet är värderummets dimension 2 och inga dimensioner är kvar till nollrummet , se punkten ovan.

Matrisen representerar en bijektiv avbildning

Det vanligaste är nog att man lärt sig $\mathrm{det} A\neq 0\ \implies \mathrm{inverterbar}$

Man kan också säga att matrisen är icke-singulär. En icke-singulär matris är inverterbar. En singulär matris är en matris där man kan uttrycka åtminstone en av kolonnerna som en linjärkombination av de övriga.

jag vet ju inte om $d e t A \neq 0$

Så om jag har en nXn matris, jag får n antal egenvärden och får n antal egenvektorer som alla är linjärt oberoende. Betyder det då att matrisen är inverterbar?

Vad händer om jag får m antal egenvärden och s antal egenvektorer. s<m<n

En kvadratisk matris är inverterbar om alla egenvärden är skilda från 0. Detta är fallet här.

PATENTERAMERA skrev:
En kvadratisk matris är inverterbar om alla egenvärden är skilda från 0. Detta är fallet här.

Varför är det så?

Enligt vad som skrivs i #2 så gäller det tex att A är inverterbar omm alla ekvationer på formen

Ax = b

har en entydig lösning. Obs det betyder speciellt att Ax = 0 bara har lösningen x = 0.

Antag att A är inverterbar och att noll är ett egenvärde till med tillhörande egenvektor v.

Det skulle då gälla att Av = 0v = 0. Men det motsäger det faktum att x = 0 är den enda lösningen till Ax = 0.

Således har vi visat att om A är inverterbar så är alla egenvärden skilda från 0.

Att visa omvändningen, dvs om noll inte är ett egenvärde så är A inverterbar, lämnas som övning. Tips: använd kontraposition - dvs visa att om A inte är inverterbar så är noll ett egenvärde.

PATENTERAMERA skrev:
Enligt vad som skrivs i #2 så gäller det tex att A är inverterbar omm alla ekvationer på formen

Ax = b

har en entydig lösning. Obs det betyder speciellt att Ax = 0 bara har lösningen x = 0.

Antag att A är inverterbar och att noll är ett egenvärde till med tillhörande egenvektor v.

Det skulle då gälla att Av = 0v = 0. Men det motsäger det faktum att x = 0 är den enda lösningen till Ax = 0.

Således har vi visat att om A är inverterbar så är alla egenvärden skilda från 0.

Att visa omvändningen, dvs om noll inte är ett egenvärde så är A inverterbar, lämnas som övning. Tips: använd kontraposition - dvs visa att om A inte är inverterbar så är noll ett egenvärde.

Okej!

Då vet man från början av uppgiften A har en invers. Varför kollar man på bildrummet S? Vad har b1 och b2 med inversen att göra då?

S kan ha som mest ha två egenvärden. De visar att S har egenvärden -2 och -6. Så alla egenvärden är skilda från noll och S är inverterbar.

PATENTERAMERA skrev:
S kan ha som mest ha två egenvärden. De visar att S har egenvärden -2 och -6. Så alla egenvärden är skilda från noll och S är inverterbar.

Är det rätt om jag säger de kollar vilka egenvärden S har. Ser att ingen är noll genom definitionen av egenvärden och egenvektor. Därmed ingen egenvärde noll -> S är inverterbar?

De visar att b₁ och b₂ är egenvektorer med egenvärden -2 och -4. Eftersom S är 2 x 2 så vet vi att S kan ha som mest två egenvärden. -2 och -4 är således samtliga egenvärden till S, och 0 är därför inte ett egenvärde. S är därmed inverterbar.

Ett annat sätt att se det är att inse att S avbildar en bas på en bas.

Om en matris S avbildar en bas på en bas så är S inverterbar.

Dvs om b₁ och b₂ är en bas för R² och om Sb₁ och Sb₂ också är en bas för R² så innebär det att S är inverterbar.

Determinanten är produkten av egenvärdena, dvs $\det A = (-1)\cdot (-2)=2$

Alltså är determinanten nollskild, eftersom den är $2$